Rechner für das charakteristische Polynom

Das charakteristische Polynom bündelt wesentliche Informationen einer quadratischen Matrix in einem Polynom. Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix. Sie beschreiben die Skalierung von Richtungen oder Zuständen, die bei der zugehörigen linearen Abbildung auf derselben Geraden bleiben. Dieser Rechner bestimmt das Polynom einer reellen 2-mal-2-Matrix und gibt zusätzlich Spur und Determinante aus. Für eine Matrix mit den Einträgen a und b in der ersten sowie c und d in der zweiten Zeile lautet das normierte charakteristische Polynom p(λ) = det(λI - A). Die Entwicklung der Determinante ergibt λ zum Quadrat minus (a + d) mal λ plus (ad - bc). Dabei ist a + d die Spur und ad - bc die Determinante. Bei einer 2-mal-2-Matrix legen diese beiden Werte das charakteristische Polynom vollständig fest. Manche Lehrbücher verwenden stattdessen det(A - λI). Bei Matrizen gerader Ordnung wie 2-mal-2-Matrizen entsteht dasselbe Polynom, sodass hier keine Unklarheit beim Vorzeichen besteht. In ungeraden Dimensionen unterscheiden sich die Konventionen durch ein globales Minuszeichen, ihre Nullstellen bleiben jedoch identisch. Die hier verwendete normierte Konvention setzt den Leitkoeffizienten gleich eins und ist in der linearen Algebra üblich. Charakteristische Polynome werden bei Eigenwertberechnungen, Stabilitätsanalysen, Differentialgleichungen, Rekursionsbeziehungen, Quantenmechanik, Regelungssystemen und Datenwissenschaft eingesetzt. Das einfachste Beispiel ist eine Diagonalmatrix: Ihre Eigenwerte sind die Diagonaleinträge, und ihr Polynom ist das Produkt aus λ minus dem jeweiligen Diagonaleintrag. Eine mehrfache Nullstelle steht für einen mehrfachen Eigenwert; ob genügend linear unabhängige Eigenvektoren existieren, muss jedoch gesondert untersucht werden. Geben Sie gewöhnliche ganze Zahlen oder Dezimalzahlen zeilenweise von links nach rechts ein. Der Rechner bestimmt zuerst Spur und Determinante und setzt sie dann in die allgemeine quadratische Form ein. Dezimalergebnisse können für die Anzeige gerundet werden, weshalb bei symbolischen Beweisen exakte Brüche vorzuziehen sein können. Um anschließend numerische Eigenwerte zu bestimmen, lösen Sie die angezeigte quadratische Gleichung durch Faktorisieren oder mit der Lösungsformel.