Stern-Rechner

Bei einem regelmäßigen Stern wechseln sich äußere Spitzen und innere Einbuchtungen in gleichen Winkelabständen um einen Mittelpunkt ab. Drei Werte bestimmen diese symmetrische Kontur vollständig: die Zackenanzahl, der Außenradius und der Innenradius. Der Außenradius reicht vom Mittelpunkt zu jeder Spitze, der Innenradius vom Mittelpunkt zu jeder Einbuchtung. Die Kontur hat dadurch doppelt so viele Eckpunkte wie sichtbare Zacken. Der Rechner behandelt die Kontur als einfaches, sich nicht selbst schneidendes Sternpolygon. Er zerlegt die Form in kongruente Dreiecke, die am Mittelpunkt zusammentreffen. Der Winkel zwischen einem äußeren Eckpunkt und dem nächsten inneren Eckpunkt beträgt pi geteilt durch die Zackenanzahl. Die Summe der Flächen aller 2n Dreiecke vereinfacht sich zu: Fläche = n mal Außenradius mal Innenradius mal sin(pi/n). Dieses Verfahren ist für jeden regelmäßigen Stern mit abwechselnden Radien exakt. Jede Randseite verbindet einen äußeren mit einem benachbarten inneren Eckpunkt. Der Kosinussatz liefert ihre Länge aus den beiden Radien und dem eingeschlossenen Winkel: Das Quadrat der Seitenlänge ist gleich dem Quadrat des Außenradius plus dem Quadrat des Innenradius minus dem Doppelten ihres Produkts mal cos(pi/n). Da auf jede Zacke zwei Seiten entfallen, ist der Umfang das 2n-Fache der Seitenlänge. Längen werden in derselben Einheit wie die Radien ausgegeben, Flächen in der zugehörigen Quadrateinheit. Diese Geometrie eignet sich für Schilder, Abzeichen, Quiltmuster, lasergeschnittene Ornamente, Logos, Pflasterlayouts und Unterrichtsaufgaben. Durch Ändern des Innenradius lässt sich steuern, wie schmal oder breit die Zacken wirken, ohne den Außendurchmesser zu verändern. Ein kleiner Innenradius erzeugt tiefe, enge Einbuchtungen; ein Wert nahe dem Außenradius ergibt eine Form, die sich einem regelmäßigen Vieleck mit flachen Kerben nähert. Die Zackenanzahl muss eine ganze Zahl von mindestens drei sein. Beide Radien müssen positiv sein, und der Innenradius muss kleiner als der Außenradius sein. Dieser Rechner modelliert kein sich selbst schneidendes Pentagramm aus einer durchgehenden Folge von Diagonalen, sondern die ausgefüllte Sternkontur mit abwechselnden äußeren und inneren Eckpunkten. Behalten Sie vor der Fertigung ausreichend genaue Maßangaben bei, um die Toleranzen von Material und Verfahren einzuhalten.