Reverse-FOIL-Rechner

Ein quadratisches Trinom in zwei Binome zerlegen und das Zusammenspiel der Koeffizienten nachvollziehen.

Trinom faktorisieren
Geben Sie die ganzzahligen Koeffizienten von ax² + bx + c ein.

Über Reverse FOIL und die Faktorisierung von Trinomen

Reverse FOIL bezeichnet anschaulich die Umkehrung der Multiplikation zweier Binome. FOIL steht für first, outer, inner und last, also die vier Produkte aus ersten, äußeren, inneren und letzten Gliedern beim Ausmultiplizieren von Ausdrücken wie (px + q)(rx + s). Zusammengefasst ergibt sich prx² + (ps + qr)x + qs. Der Rechner geht von a, b und c in ax² + bx + c aus und sucht ganze Zahlen p, q, r und s mit pr = a, qs = c und ps + qr = b. Bei einem normierten Trinom mit a gleich 1 ist das Vorgehen besonders vertraut. Für x² + 5x + 6 sucht man zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe 5. Das sind 2 und 3, also lautet die Zerlegung (x + 2)(x + 3). Ist der Leitkoeffizient nicht 1, müssen auch die x-Koeffizienten beider Binome berücksichtigt werden. Bei 2x² - 3x - 2 passt (x - 2)(2x + 1), da die äußeren und inneren Produkte zusammen -3x ergeben. Der Rechner sucht exakte ganzzahlige Faktorenpaare, einschließlich negativer Faktoren und einer Konstanten von null. Er ist für Trinome gedacht, die sich über den ganzen Zahlen vollständig zerlegen lassen. Liefert keine ganzzahlige Anordnung den mittleren Koeffizienten, meldet er, dass keine solche Faktorisierung möglich ist. Das bedeutet nicht, dass das quadratische Polynom keine Nullstellen hat. Irrationale oder komplexe Nullstellen bestimmt man besser mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Produktform macht die Nullstellen einer quadratischen Gleichung unmittelbar sichtbar. Ist (x + 2)(x + 3) gleich null, folgt aus dem Satz vom Nullprodukt x gleich -2 oder -3. Die faktorisierte Form hilft außerdem beim Vereinfachen rationaler Ausdrücke, Skizzieren von Parabeln, Lösen polynomialer Ungleichungen und Prüfen von Rechnungen. Kontrollieren Sie das Ergebnis stets durch Ausmultiplizieren: Die ersten Glieder müssen ax² ergeben, die letzten c und die beiden gemischten Produkte zusammen bx. Verwenden Sie ganzzahlige Eingaben, die den ursprünglichen Ausdruck erhalten. Ein Minuszeichen gehört in das jeweilige Koeffizientenfeld; bei fehlendem mittlerem Glied wird null eingegeben. Gemeinsame Zahlenfaktoren müssen nicht vorher ausgeklammert werden, da die Suche dennoch ein gültiges Binompaar finden kann. Den größten gemeinsamen Faktor vorab zu erkennen, beschleunigt jedoch oft die Handrechnung und vereinfacht die Erklärung.

Beispiele für Reverse FOIL

Diese Trinome zeigen positive und negative Koeffizienten, normierte Fälle und fehlende mittlere Glieder.

TrinomFaktorisierte FormBegründung
x² + 5x + 6(x + 2)(x + 3)2 × 3 = 6 und 2 + 3 = 5.
2x² - 3x - 2(x - 2)(2x + 1)Die gemischten Produkte x und -4x ergeben -3x.
x² - 9(x - 3)(x + 3)Eine Differenz von Quadraten mit mittlerem Koeffizienten null.
3x² - 2x - 5(x + 1)(3x - 5)Die gemischten Produkte 3x und -5x ergeben -2x.

So verwenden Sie den Reverse-FOIL-Rechner

  1. Lesen Sie den Koeffizienten von x² ab und geben Sie ihn als a ein.
  2. Geben Sie den x-Koeffizienten als b ein; bei fehlendem mittlerem Glied verwenden Sie null.
  3. Geben Sie die Konstante mit Vorzeichen als c ein.
  4. Wählen Sie Faktoren berechnen, um ganzzahlige Faktorenpaare zu suchen.
  5. Multiplizieren Sie die angezeigten Binome aus und prüfen Sie, ob das ursprüngliche Trinom entsteht.

Häufige Fragen zum Reverse-FOIL-Rechner

Was bedeutet Reverse FOIL?

Ein quadratisches Trinom wird in ein Produkt zweier Binome zurückverwandelt. Das Multiplizieren der ersten, äußeren, inneren und letzten Glieder wird dabei umgekehrt.

Lässt sich jedes Trinom faktorisieren?

Nicht jedes Trinom lässt sich mit ganzzahligen Koeffizienten zerlegen. Manche benötigen irrationale oder komplexe Werte; dann ist die allgemeine quadratische Lösungsformel geeigneter.

Wie werden negative Konstanten behandelt?

Bei negativer Konstante haben die beiden konstanten Faktoren unterschiedliche Vorzeichen. Diese müssen zugleich so angeordnet sein, dass die gemischten Produkte den mittleren Koeffizienten ergeben.

Was ist, wenn das mittlere Glied fehlt?

Geben Sie für b null ein. Der Rechner sucht gemischte Produkte, die sich aufheben, etwa bei einer Differenz von Quadraten.

Wie prüfe ich das faktorisierte Ergebnis?

Multiplizieren Sie die Binome mit FOIL aus und fassen Sie gleichartige Terme zusammen. Die Koeffizienten müssen genau a, b und c des ursprünglichen Trinoms entsprechen.