Scheitelpunktform-Rechner

Die Scheitelpunktform ist eine nützliche Darstellung quadratischer Funktionen, weil sie den Scheitel der Parabel sofort erkennen lässt. Sie lautet y = a(x - h)² + k; der Scheitelpunkt ist (h, k). Der Koeffizient a bestimmt Öffnungsrichtung und Breite der Parabel. Bei positivem a öffnet sie sich nach oben, bei negativem a nach unten. Ein größerer Betrag führt zu einer schmaleren Kurve. Die allgemeine Form derselben quadratischen Funktion lautet y = ax² + bx + c. Dabei ist c der y-Achsenabschnitt, der Scheitelpunkt lässt sich jedoch nicht sofort ablesen. Zur Umwandlung in die Scheitelpunktform berechnen Sie h als -b geteilt durch 2a. Setzen Sie anschließend h in die Funktion ein, um k zu erhalten, oder nutzen Sie k = c - b²/(4a). Diese Formeln entsprechen der quadratischen Ergänzung. Für die Rückumwandlung in die allgemeine Form wird das Quadrat ausmultipliziert. Aus a mal (x - h)² wird ax² - 2ahx + ah². Nach Addition von k lauten die Koeffizienten b = -2ah und c = ah² + k. Der führende Koeffizient a bleibt bei beiden Umwandlungen unverändert, da beide Ausdrücke genau dieselbe Parabel beschreiben. Bei positivem a liegt im Scheitelpunkt ein Minimum, bei negativem a ein Maximum. Die senkrechte Gerade x = h ist die Symmetrieachse. Punkte mit gleichem horizontalem Abstand auf beiden Seiten haben denselben y-Wert. Diese Symmetrie macht die Scheitelpunktform besonders nützlich für das Zeichnen, Optimierungsaufgaben, Wurfbewegungen, Erlösmodelle und alle Aufgaben, die nach einem Maximum oder Minimum fragen. Der Koeffizient a darf nicht null sein, weil sonst der quadratische Term entfällt und eine lineare statt einer quadratischen Gleichung entsteht. Die übrigen Koeffizienten und Scheitelpunktkoordinaten dürfen positiv, negativ, null oder dezimal sein. Achten Sie beim Ablesen auf das Minuszeichen: Bei (x - 3) ist h = 3, bei (x + 3) dagegen h = -3. Dieser Rechner führt die algebraischen Schritte numerisch aus und zeigt die umgeformte Gleichung zusammen mit dem Scheitelpunkt. Bei Bedarf werden Ergebnisse auf sechs Nachkommastellen gerundet. Alle Terme bleiben sichtbar, auch mit den Koeffizienten eins und null, damit die Beziehung zwischen Eingaben und berechneten Koeffizienten deutlich wird. Nutzen Sie ihn zur Kontrolle der quadratischen Ergänzung, zur Vorbereitung einer Zeichnung oder zum Wechsel in die geforderte Gleichungsform.