Arctan-Rechner - Inverse Tangensfunktion
Berechnen Sie den inversen Tangens (arctan) jeder reellen Zahl und erhalten Sie sofort den Winkel in Grad oder Bogenmaß.
Geben Sie eine reelle Zahl ein, wählen Sie Grad oder Bogenmaß und berechnen Sie den Winkel, dessen Tangens diesen Wert hat.
Arctan-Rechner - Inverse Tangensfunktion
Berechnen Sie den inversen Tangens (arctan) jeder reellen Zahl und erhalten Sie sofort den Winkel in Grad oder Bogenmaß.
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen (-∞ bis ∞)
Über den Arctan-Rechner
Die Arkustangensfunktion, geschrieben arctan(x) oder tan⁻¹(x), ist die Umkehrung der Tangensfunktion. Für jede reelle Zahl x gibt arctan(x) den Winkel θ zurück, dessen Tangens x entspricht. Im Gegensatz zu Arkussinus und Arkuskosinus ist der Arkustangens für alle reellen Zahlen definiert — es gibt keine Einschränkung des Definitionsbereichs — da die Tangensfunktion alle reellen Werte annimmt, wenn x von -90° bis 90° reicht .Die Ausgabe von arctan liegt im offenen Intervall (-90°, 90°) für Grad oder (-π/2, π/2) für Bogenmaß.
Beachten Sie, dass diese Endpunkte ausgeschlossen sind: arctan erreicht niemals genau ±90°, da die Tangensfunktion gegen unendlich geht, wenn der Winkel diese Grenzen annähert, was bedeutet, dass kein endlicher x einen 90°-Wert ergibt.
Wenn x → ∞, dann arctan(x) → 90°, und wenn x → -∞, dann arctan(x) → -90° .Arctan ist die am häufigsten verwendete der inversen trigonometrischen Funktionen und erscheint in einer enormen Bandbreite von Anwendungen. In der Geometrie, wenn Sie die Längen der gegenüberliegenden und angrenzenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, ist der Winkel arctan(gegenüber/angrenzend). Zum Beispiel entspricht eine Steigung von 1 (Steigung = Lauf) einem Winkel von arctan(1) = 45°.
Eine Steigung von 2 ergibt arctan(2) ≈ 63.43°.In der Computergrafik und Spieleentwicklung wird arctan verwendet, um den Winkel eines 2D-Vektors aus seinen x- und y-Komponenten zu bestimmen. Die atan2(y, x)-Funktion (verfügbar in praktisch jeder Programmiersprache) erweitert arctan auf alle vier Quadranten, indem sie die Vorzeichen beider Komponenten überprüft und Werte im vollen Bereich (-180°, 180°) zurückgibt .
In der Signalverarbeitung und Regelungstheorie erscheint Arctan in Phasenberechnungen: Die Phase einer komplexen Zahl a bi ist arctan(b/a). In der Navigation wird die Peilung zwischen zwei geografischen Koordinaten mittels Arctan der Unterschiede in Längen- und Breitengrad berechnet. In der Physik beinhaltet der Winkel eines Pendels oder eines gebrochenen Strahls arctan in seiner exakten Form .
Schlüsselwerte: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(-1) = -45°, arctan(√3) = 60°, arctan(1/√3) = 30°. Diese ergeben sich aus den Standarddreiecken und sind es wert, sie auswendig zu lernen. Die Funktion ist ungerade — arctan(-x) = -arctan(x) — daher sind die negativen Werte einfach die negativen der entsprechenden positiven Winkel .
Die Beziehung zwischen arctan und π ist in der Mathematik berühmt. Die Leibniz-Formel für π lautet: π/4 = 1 - 1/3 1/5 - 1/7 ... = arctan(1). Effizientere Formeln wie Machins Formel π/4 = 4·arctan(1/5) - arctan(1/239) wurden historisch verwendet, um viele Ziffern von π von Hand zu berechnen.
Arctan-Beispiele
Klassische Eingabewerte, die die Schlüsselpunkte der Arctangenskurve abdecken.
| Eingabe | arctan(x) | Erklärung |
|---|---|---|
| arctan(0) | 0° = 0 Rad | Die Tangente von 0° ist 0, also arctan(0) = 0. Der Ursprung der arctan-Kurve. |
| arctan(1) | 45° ≈ 0.7854 Rad | Die Tangente von 45° beträgt 1. Eine Steigung von 1 (gleicher Anstieg und Lauf) entspricht einem Winkel von 45°. |
| arktan(1.7321) | 60° ≈ 1.0472 Rad | arctan(√3) = 60°. Entspringt dem 30-60-90-Dreieck, wobei die Tangente von 60° √3 ≈ 1.7321 entspricht. |
| arctan(-1) | -45° ≈ -0.7854 Rad | Negativer Eingang ergibt einen negativen Winkel. arctan(-1) = -45°, was die ungerade Funktionssymmetrie veranschaulicht. |
Wie man den Arctan-Rechner benutzt
- Geben Sie eine beliebige reelle Zahl im Feld Eingabewert (x) ein. Im Gegensatz zu Arcsin und Arccos akzeptiert Arctan alle reellen Zahlen ohne Definitionsbeschränkung.
- Wählen Sie die Ausgabeeinheit aus: Klicken Sie auf Grad, um das Ergebnis in Grad zu erhalten, oder auf Radianen für das Ergebnis in Radianten.
- Klicken Sie auf Arktan berechnen, um die umgekehrte Tangente zu berechnen. Das Ergebnis liegt im Bereich (-90°, 90°) für Grad.
- Das Ergebnispanel zeigt arctan(x) = Ergebnis zusammen mit der zugrundeliegenden Referenzformel.
- Klicken Sie auf Reset, um die Eingabe zu löschen und einen neuen Wert zu berechnen.
Arctan-Rechner FAQ
Was ist das Reich von Arctan?
Der Definitionsbereich von Arctan sind alle reellen Zahlen (-∞, ∞). Da die Tangentialfunktion jeden reellen Wert als Argument über (-90°, 90°) annimmt, gibt es keine Eingabebeschränkung. Man kann Arctan sehr großer Zahlen (arctan(1000) ≈ 89.943°) oder sehr negative Zahlen (arctan(-1000) ≈ -89.943°) berechnen).
Warum erreicht Arctan nie ganz ±90°?
Die Tangentialfunktion nähert sich ±∞, wenn der Winkel sich ±90° nähert. Rückwärts, um arctan(x) = 90° zu erhalten, bräuchte man x = tan(90°) = ∞. Da unendlich keine endliche reelle Zahl ist, erreicht arctan nie genau ±90°. Es nähert sich diesen Grenzen asymptotisch, wenn x größer wird.
Was ist der Unterschied zwischen Arctan und ATAN2?
arctan(y/x) gibt nur Winkel in (-90°, 90°) zurück und kann keine gegenüberliegenden Quadranten unterscheiden – die Vektoren (1,1) und (-1,-1) geben beide ein Verhältnis von 1. Die atan2(y, x)-Funktion nimmt sowohl y als auch x getrennt und liefert Winkel im vollen Bereich (-180°, 180°), wodurch das Ergebnis korrekt im rechten Quadranten platziert wird. Verwenden Sie atan2 für Vektorwinkel in der Programmierung.
Wie wird Arctan verwendet, um den Steigungswinkel einer Linie zu bestimmen?
Die Steigung m einer Linie ist Aufstieg/Lauf = tan(θ), daher beträgt der Inklinationswinkel θ = arctan(m). Für eine Linie mit Steigung 0.5 ist der Winkel arctan(0.5) ≈ 26.57°. Eine vertikale Linie hat eine undefinierte Steigung (unendliche Tangente) und eine Neigung von 90°, die arctan annähert, aber nie für endliche Eingaben reicht.
Ist Arctan ungerade oder gerade?
Arctan ist eine ungerade Funktion: arctan(-x) = -arctan(x). Dies spiegelt die Tatsache wider, dass auch die Tangentialfunktion ungerade ist: tan(-θ) = -tan(θ). Praktisch bedeutet das, wenn man arctan(2) ≈ 63.43° kennt, sofort arctan(-2) ≈ -63.43° ohne zusätzliche Berechnung.
Was ist die Ableitung von arctan?
Die Ableitung von arctan(x) bezüglich x ist 1/(1 x²). Diese relativ einfache Ableitung macht arctan in der Integralrechnung nützlich: Das Integral von 1/(1 x²) dx ist gleich arctan(x) C. Dieses Integral tritt häufig in Problemen mit rationalen Funktionen und bei der Herleitung der Reihenentwicklung für π auf.