Rechner für multiplikative Inverse

Ein multiplikatives Inverses ist ein Wert, der eine Multiplikation rückgängig macht. In der gewöhnlichen Arithmetik ist das Inverse einer Zahl a ungleich null ihr Kehrwert, also 1 geteilt durch a, denn a mal 1 geteilt durch a ergibt 1. Der Kehrwert von 8 ist 0.125, der einer Hälfte ist 2 und der einer negativen Zahl ist ebenfalls negativ. Null besitzt kein multiplikatives Inverses, da kein endlicher Wert mit null multipliziert 1 ergeben kann. Die modulare Arithmetik verwendet eine verwandte, aber andere Definition. Das Inverse einer ganzen Zahl a modulo m ist eine ganze Zahl x, für die a mal x bei Division durch m den Rest 1 lässt. Beispielsweise ist 15 das Inverse von 7 modulo 26, denn 7 mal 15 ergibt 105 und 105 mod 26 ist 1. Modulare Inverse sind im Allgemeinen keine dezimalen Kehrwerte. Sie gehören zu einem endlichen System von Restklassen. Durch Addition oder Subtraktion eines beliebigen Vielfachen des Moduls entsteht ein weiterer Repräsentant derselben modularen Lösung. Ein modulares Inverses existiert genau dann, wenn Zahl und Modul teilerfremd sind, ihr größter gemeinsamer Teiler also 1 ist. Der Rechner prüft dies mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Dieser ermittelt Koeffizienten, die die Eingaben mit ihrem größten gemeinsamen Teiler verknüpfen. Ist dieser 1, lässt sich der Koeffizient der Zahl modulo m auf das kleinste nichtnegative Inverse reduzieren. Haben die Eingaben einen gemeinsamen Faktor größer als 1, kann kein Produkt den Rest 1 liefern. Der Rechner meldet dann, dass das gesuchte Inverse nicht existiert. Wählen Sie den Kehrwertmodus für Brüche, Skalierungen, algebraische Division, Verhältnisse und Rechnungen mit reellen Zahlen. Das modulare Inverse eignet sich für Kongruenzen, Zahlentheorie, Kryptografie, Prüfsummen und Ganzzahlalgorithmen. Modulare Eingaben müssen sicher darstellbare ganze Zahlen sein; der Modul muss größer als 1 sein. Als Zahl sind auch negative ganze Zahlen zulässig, da sie vor der Interpretation des Inversen auf einen äquivalenten Rest reduziert werden können. Multiplikative Inverse sind beim Lösen von Gleichungen zentral. Multipliziert man beide Seiten einer gewöhnlichen Gleichung mit einem Kehrwert, lässt sich ein Koeffizient ungleich null entfernen. In einer modularen Gleichung kann eine Variable nur dann durch Multiplikation mit einem modularen Inversen isoliert werden, wenn dieses existiert. Die Public-Key-Kryptografie nutzt diese Idee mit wesentlich größeren Zahlen. Produktive kryptografische Anwendungen benötigen jedoch spezialisierte Software mit beliebiger Genauigkeit und konstanter Laufzeit. Dieser Rechner dient dem Lernen, der Kontrolle von Hausaufgaben und dem Lösen mittelgroßer Rechenbeispiele mit einer klaren Unterscheidung beider Inversenbegriffe.