Faltungsrechner

Die Faltung verbindet zwei Folgen und beschreibt, wie ein Muster ein anderes verändert, filtert oder überlagert. Bei endlichen diskreten Folgen ist jeder Ausgabewert eine Summe von Produkten, die beim Verschieben einer Folge über die andere entstehen. Hat die erste Folge die Länge m und die zweite die Länge n, ist ihre vollständige lineare Faltung m + n - 1 Werte lang. Dieser Rechner führt die gesamte Operation aus und zeigt die Werte von der ersten bis zur letzten Überlappung an. Die Operation ist in der digitalen Signalverarbeitung weit verbreitet. Bei einem linearen zeitinvarianten System ergibt die Faltung des abgetasteten Eingangssignals mit der Impulsantwort den Systemausgang. Audio-Equalizer, Glättungsfilter, Echomodelle, Bildkerne und Kommunikationskanäle nutzen dieses Prinzip. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert die Faltung außerdem die Verteilung einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen. Auch die Polynommultiplikation folgt demselben koeffizientenweisen Muster. Für einen Ausgabewert werden Wertepaare gebildet, deren Indizes zusammen den Ausgabeindex ergeben. Jedes Paar wird multipliziert, anschließend werden die Produkte addiert. An den Rändern überlappen nur wenige Werte, in der Mitte tragen mehr Werte bei. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und negative Werte werden unterstützt, sodass viele endliche Signale ohne spezielle Schreibweise modelliert werden können. Berechnet wird die lineare, nicht die zirkuläre Faltung. Bei der zirkulären Faltung laufen die Indizes über eine feste Periode zurück, was andere Ergebnisse liefern kann. Die Faltung ist kommutativ: Das Vertauschen der Eingaben ändert die Ausgabe nicht. Sie ist zudem assoziativ und distributiv, was die Analyse kaskadierter Filter und zerlegter Systeme erleichtert. Ein Impuls aus einem einzelnen Wert eins ist das neutrale Element: Seine Faltung mit einer beliebigen Folge ergibt wieder diese Folge. Wird eine Eingabe skaliert, skalieren sämtliche Ausgabewerte mit demselben Faktor. Nutzen Sie das Ergebnis als genaue Werteliste für Übungen, schnelle Filterprüfungen oder die Kontrolle von Handrechnungen. Sehr lange Folgen werden oft mit schnellen Fourier-Transformationen verarbeitet. Für die hier üblichen kurzen Folgen ist die direkte Summation jedoch klar und zuverlässig. Halten Sie die Reihenfolge der Abtastwerte ein und geben Sie Nullen ausdrücklich an, wenn sie relevante Verzögerungen darstellen.