帕隆多悖論計算機

帕隆多悖論描述一種違反直覺的機率現象：兩個各自進行都會虧損的賽局，交替進行或隨機混合後，卻可能產生正期望報酬。這個效果不是憑空創造機率，而是改變玩家資本進入不同狀態的頻率。賽局 B 在資本可被週期長度整除時使用一枚硬幣，否則使用另一枚，因此未來的勝率取決於目前的餘數。 賽局 A 的勝率固定。由於獲勝增加一個單位資本、落敗減少一個單位，每回合的期望變化就是勝率的兩倍減一。賽局 B 則需要更仔細處理。每回合後，資本會在不同餘數狀態之間移動，而這些狀態的長期出現頻率通常不均勻。本計算機依所選週期長度建立轉移過程，透過迭代求得穩態分布，再以各狀態的穩態機率加權其輸贏期望。 針對混合賽局，計算機先在每個餘數狀態中，將賽局 A 的勝率與對應的賽局 B 勝率結合。選擇賽局 A 的機率控制混合比例。接著重新求解穩態分布，因為混合既會改變即時勝率，也會改變各狀態的占比。這項區別非常重要：若只平均 A 和 B 單獨進行時的報酬，就會忽略產生悖論的機制。 經典範例採用略為不利的賽局 A，以及賽局 B 中極不利的不利狀態硬幣與有利的有利狀態硬幣。兩個賽局各自進行時的長期漂移皆為負，但等機率隨機混合後，漂移可能為正。結果是期望值，不是保證。有限回合仍具有隨機性，即使理論漂移方向相反，實際資本也可能增加或減少。您可用本計算機探索機率模型、教授馬可夫鏈，或核對已發表的帕隆多參數，不必執行帶有隨機波動的模擬。