最小平方法迴歸直線計算機

最小平方法迴歸直線，又稱最佳擬合線，是讓每個觀測資料點與該直線之間垂直距離的平方和最小的直線。對於成對 (x, y) 觀測資料集，迴歸線的形式為 ŷ = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 截距。先將殘差平方再加總，能比小偏差更嚴厲地處罰大偏差，也避免正負誤差彼此抵消。 斜率與截距的公式，是將總平方誤差分別對 m 和 b 取偏微分並設為零所推導而得。結果為：m = (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²)，以及 b = (Σy − m·Σx) / n，其中 n 為資料點數量。本計算機使用這些精確的封閉形式運算式，因此結果在數學上精確，不涉及迭代近似。 相關係數 r 衡量資料在迴歸線周圍聚集的緊密程度，範圍是 −1 到 +1。接近 +1 代表強正線性關係（x 增加時，y 按比例增加）；接近 −1 代表強負線性關係；接近 0 則表示線性關聯很少或沒有。決定係數 R² = r² 告訴您 y 的變異中有多少比例可由 x 解釋；例如 R² = 0.90 表示迴歸線解釋了 y 值變異的 90%。 最小平方法迴歸廣泛應用於科學、工程、經濟學、社會科學與機器學習。常見用途包括依廣告支出預測銷售額、建立溫度與能源消耗的關係模型、校正儀器、為時間序列資料擬合趨勢線，以及建立多元線性迴歸與多項式迴歸等複雜模型的基礎。 解讀結果時，請記得相關不代表因果：高 r 值僅表示兩個變數在線性上同步變動，不必然表示其中一個造成另一個。同時，迴歸線只適用於觀測 x 值範圍內的內插；遠超出該範圍的外插可能產生不可靠的預測。最後，少數具影響力的離群值可能明顯拉動迴歸線；請一併查看散佈圖與統計值，以找出顯而易見的異常。 本計算機接受任意數量的成對資料點（至少兩個）。請在一個欄位輸入 x 值，在另一個欄位輸入相對應的 y 值，並以逗號分隔。輸出包括迴歸方程式、斜率、y 截距、相關係數、R²，以及 x 和 y 的平均值。