最大公因數和最小公倍數計算器
即時找出一組數字的最大公因數（GCF）和最小公倍數（LCM）。
輸入兩個或更多以逗號或空格分隔的正整數，即可同時計算最大公因數和最小公倍數。
最大公因數和最小公倍數計算器
即時找出一組數字的最大公因數（GCF）和最小公倍數（LCM）。
輸入以逗號或空格分隔的正整數清單，例如 12, 18, 30
關於最大公因數和最小公倍數
最大公因數（GCF）和最小公倍數（LCM）是數論中最基本的兩個概念。整數集合的最大公因數（也稱最大公約數或 GCD）是能夠整除其中每個整數且沒有餘數的最大正整數。最小公倍數則是能被集合中每個數整除的最小正整數。兩者共同出現在無數數學與實務應用中，從分數化簡到排程與工程問題都很常見。
計算兩個數最大公因數最有效率的演算法是歐幾里得演算法，它發現於古希臘並沿用至今。它會反覆用較大數除以較小數所得的餘數取代較大數，直到餘數為零。最後一個非零餘數就是最大公因數。例如 GCF(48, 18)：48 = 2 * 18 + 12，接著 18 = 1 * 12 + 6，再接著 12 = 2 * 6 + 0，因此 GCF = 6。
得知最大公因數後，可使用恆等式 LCM(a, b) = |a * b| / GCF(a, b) 計算最小公倍數。這能避免列出所有倍數，即使面對大數也很有效率。對於兩個以上的數字，最大公因數和最小公倍數會以迭代方式計算：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)，LCM 亦同。
在日常生活中，最大公因數可用來化簡分數：當 GCF(a, b) = 1 時，分數 a/b 已是最簡形式。最小公倍數則用於分母不同的分數加減，通分母就是原分母的最小公倍數。在排程中，最小公倍數能告訴你兩個週期性事件何時重合。例如，若一個事件每 4 天重複一次，另一個每 6 天重複一次，它們每 LCM(4, 6) = 12 天會對齊一次。
此計算器支援任意數量的正整數，並使用高效率的迭代歐幾里得演算法。結果會在你的瀏覽器中即時計算，不會將資料傳送到任何伺服器。
範例
最大公因數和最小公倍數計算範例：
| 數字 | 最大公因數 / 最小公倍數 | 說明 |
|---|---|---|
| 12, 18 | GCF = 6, LCM = 36 | 基本的兩數範例 |
| 12, 18, 30 | GCF = 6, LCM = 180 | 三個數字 |
| 7, 13 | GCF = 1, LCM = 91 | 互質數；GCF = 1 |
| 24, 36, 48 | GCF = 12, LCM = 144 | 12 的倍數 |
使用方法
- 在數字欄位輸入兩個或更多正整數，並以逗號或空格分隔。
- 點擊計算，同時計算 GCF 和 LCM。
- 從左側結果卡讀取 GCF，從右側結果卡讀取 LCM。
- 使用範例按鈕載入預設數字組並驗證計算器。
- 點擊重設以清除輸入並開始新的計算。
常見問題
什麼是 GCF（最大公因數）？
兩個或更多整數的 GCF 是能夠整除所有這些數的最大正整數。例如，GCF(12, 18) = 6，因為 6 是能同時整除 12 和 18 且沒有餘數的最大數。它也稱為 GCD（最大公約數）。
什麼是 LCM（最小公倍數）？
兩個或更多整數的 LCM 是同時為所有這些數倍數的最小正整數。例如，LCM(4, 6) = 12，因為 12 是能同時被 4 和 6 整除的最小數。LCM 常用於分數相加時尋找通分母。
GCF 和 LCM 彼此有什麼關係？
對任意兩個正整數 a 和 b，它們的 GCF 與 LCM 的乘積等於這兩個數的乘積：GCF(a,b) * LCM(a,b) = a * b。這個恆等式提供了在已知 GCF 後快速計算 LCM 的方法。例如，GCF(12,18) = 6，所以 LCM(12,18) = 12*18/6 = 36。
兩個數的 GCF 為 1 代表什麼？
當 GCF(a, b) = 1 時，這兩個數稱為互質或相對質數。除了 1 以外，它們沒有共同因數。例如，7 和 13 互質。任意兩個連續整數一定互質，任何質數與不能被它整除的數也互質。
我可以計算兩個以上數字的 GCF 和 LCM 嗎？
可以。對於一組數字，可迭代計算 GCF：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)。LCM 也適用相同方法。此計算器可處理任意數量的數字，並自動套用迭代方法。
這個計算器使用什麼演算法？
此計算器使用歐幾里得演算法計算 GCF。給定兩個數 a 和 b（a >= b），它會反覆計算 a mod b，並以 b 取代 a、以 a mod b 取代 b，直到餘數為零。此方法效率高（O(log min(a,b)) 步），也能妥善處理大數。