特徵多項式計算機

特徵多項式將方陣的關鍵資訊整合到一個多項式中。它的根就是矩陣的特徵值，可描述在對應線性變換下保持在同一直線方向、僅發生縮放的方向或狀態。本計算機可求實數 2 列 2 行矩陣的特徵多項式，並提供其跡與行列式。 設矩陣第一列的元素為 a、b，第二列為 c、d，則首一特徵多項式為 p(λ) = det(λI - A)。展開行列式後，得到 λ 的平方減去 (a + d) 乘以 λ，再加上 (ad - bc)。其中 a + d 為跡，ad - bc 為行列式。對於 2 列 2 行矩陣，這兩個值完全決定其特徵多項式。 有些教科書將多項式定義為 det(A - λI)。對於階數為偶數的 2 列 2 行矩陣，所得多項式相同，因此此處沒有正負號歧義。在奇數維度中，兩種慣例的結果整體相差一個負號，但根仍相同。此處採用的首一慣例讓最高次項係數等於一，是線性代數中常見的定義。 特徵多項式可用於特徵值計算、穩定性分析、微分方程、遞迴關係、量子力學、控制系統與資料科學。對角矩陣是最簡單的例子：其特徵值就是對角元素，多項式則是 λ 減去各對角元素所得因子的乘積。重根表示重複的特徵值，但仍須進一步判斷是否有足夠多的線性獨立特徵向量。 請按逐列由左至右的順序輸入一般整數或小數。計算機先求跡與行列式，再將它們代入一般二次多項式。小數運算結果可能在顯示時四捨五入，因此符號證明仍可能較適合使用精確分數。若要繼續求數值特徵值，可對顯示的二次方程進行因式分解，或套用公式解。