反正弦計算器 - 反正弦函數

反正弦函數，寫作 arcsin(x) 或 sin⁻¹(x)，是正弦函數的反函數。 給定區間 [-1, 1] 中的任意值 x，arcsin(x) 會返回一個角度 θ，其正弦等於 x。 輸出位於主值範圍 -90° 到 90°（或 -π/2 到 π/2 弧度）內，這個範圍是依照慣例選擇，以使反函數唯一且定義良好。 反正弦是六個反三角函數之一，可以說是僅次於反正切最常使用的函數。 當你知道直角三角形中對邊與斜邊的比值並想要找角度時，它就會出現。 對於一個對邊長為 3 且斜邊長為 5 的三角形，該角度為 arcsin(3/5) = arcsin(0.6) ≈ 36.87°。 定義域 [-1, 1] 反映了正弦函數對實數角度總是會產生此範圍內的值。 試圖計算超出此範圍的值的反正弦，例如 arcsin(2)，則沒有實數解。 在工程和物理學中，領域違規通常表示建模錯誤 —— 例如，比例被誇大 —— 應該觸發對輸入數據的審查，而不是創造性的解釋。 鍵盤參考值：arcsin(0) = 0°、arcsin(0.5) = 30°、arcsin(√2/2) ≈ 45°、arcsin(√3/2) ≈ 60°、arcsin(1) = 90°。 負鏡：arcsin(-0.5) = -30°，arcsin(-1) = -90°。 這些數值來自標準直角三角形，應記住以便快速進行心算檢查。 在物理學中，arcsin 用於光學中以應用斯涅爾定律：折射角為 arcsin(n₁ × sin(θ₁) / n₂)。 在拋射運動中，平面上的最大射程的發射角是 arcsin(1/√2) = 45°。 在電機工程中，功率因數角是通過虛功與視在功率比的反正弦求得的。 在統計學和機率論中，反正弦轉換（也稱為角度轉換或反正弦平方根轉換）用於穩定比例的變異數，使統計檢驗對接近 0 或 1 的數據更可靠。 此應用使用 arcsin(√p)，其中 p 為比例，並產生介於 [0°，90°] 的數值。 此計算器返回主值，其範圍在 [-90°, 90°]。 如果您的問題需要一個超出此範圍的角度——例如，您知道正弦為 0.5，並且您預期角度為 150° 而不是 30°——您需要應用額外的邏輯：150° = 180° - 30° = 180° - arcsin(0.5)。