階乘計算器

非負整數 n 的階乘，是從 n 到 1 所有正整數的乘積，記為 n!。例如 5! 表示 5 乘以 4 乘以 3 乘以 2 乘以 1，等於 120。階乘成長極快，因為每個新值都是前一個結果乘上一個更大的整數。即使是 20!，也已超過兩百萬兆。 兩個基本情況特別重要：1! 為 1，數學上也將 0! 定義為 1。零的情況乍看可能令人意外，但它能維持遞迴恆等式 n! = n 乘以 (n - 1)!，讓計數公式保持一致。排列零個物件，或從一組物件中選取零個物件，都恰好只有一種方式，因此對應的計數必須為一。 階乘是組合數學的核心。n 個相異物件共有 n! 種排列順序。若將八本不同的書放上書架，就有 8!，也就是 40,320 種排列。組合與排列使用階乘之比，分別計算不考慮順序與考慮順序時的選取數量。機率公式利用這些計數，求得撲克牌手牌、彩券選號、排程與實驗結果的可能性。 階乘也出現在代數、微積分、統計學與資訊科學中。泰勒級數以階乘作為分母，表示指數、正弦及餘弦等函數。卜瓦松與二項機率分布包含階乘項。演算法分析以階乘時間描述遍歷所有排列的程序；即使輸入規模不大，這樣的成長速度也會讓計算變得不切實際。 本計算器採用整數運算而非浮點乘法，因此在支援範圍內，顯示的每一位數字都精確無誤。輸入上限 170 沿用舊版工具的實用範圍，讓輸出長度便於閱讀；整數運算本身其實能表示更大的結果。此處階乘僅定義於非負整數。伽瑪函數可將概念延伸到許多非整數與複數值，但那是另一種運算，本工具不予計算。 若要粗略估計極大的階乘，可使用史特靈近似，以二乘以圓周率乘以 n 的平方根，再乘以 (n 除以 e)^n 來近似 n!。n 越大，近似越準確；但需要完整整數時，精確計算器仍較合適。可將顯示結果用於計數問題、公式核對、課堂練習，以及比較階乘成長如何迅速超越一般指數成長。