Калькулятор разложения по алгебраическим дополнениям

Вычислите определитель 3×3 разложением Лапласа и изучите каждый минор, алгебраическое дополнение и произведение первой строки.

Определитель 3×3 разложением по дополнениям
Введите все девять элементов матрицы для разложения по первой строке.

О разложении по алгебраическим дополнениям

Разложение по алгебраическим дополнениям, также известное как разложение Лапласа, выражает определитель квадратной матрицы через взвешенную сумму определителей меньшего порядка. Выберите любую строку или столбец, умножьте каждый элемент на его минор с соответствующим знаком и сложите произведения. Этот калькулятор использует первую строку матрицы 3×3, чтобы каждый этап было легко проверить. Полученный определитель совпадает с результатом разложения по любой другой строке или столбцу. Чтобы найти минор элемента, удалите строку и столбец, в которых он находится. В матрице 3×3 оставшиеся значения образуют матрицу 2×2. Её определитель равен произведению верхнего левого и нижнего правого элементов минус произведение верхнего правого и нижнего левого. Алгебраическое дополнение добавляет к минору чередующийся знак. В первой строке знаки идут в порядке плюс, минус, плюс. Отображаемые дополнения уже учитывают эти знаки. Определитель равен сумме произведений первого элемента на его дополнение, второго элемента на его дополнение и третьего элемента на его дополнение. Хотя операция описывается как сложение, отрицательное дополнение естественным образом приводит к вычитанию. Отдельное отображение миноров, дополнений со знаками и итоговых произведений помогает находить арифметические ошибки и проверять ручные вычисления. Нулевой определитель означает, что матрица вырождена. Её строки или столбцы линейно зависимы, у неё нет мультипликативной обратной матрицы, а соответствующее линейное преобразование уменьшает размерность. Ненулевой определитель указывает на обратимость матрицы. Знак описывает ориентацию, а абсолютное значение определителя задаёт коэффициент изменения площади или объёма при соответствующем линейном преобразовании. Разложение по дополнениям обобщается на квадратные матрицы любого размера, рекурсивно сводя определитель порядка n к определителям порядка n минус один. Для больших плотных матриц методы исключения вычислительно быстрее, но разложение Лапласа особенно полезно, когда строка или столбец содержит много нулей. Оно также лежит в основе определения присоединённых и обратных матриц и характеристических многочленов. Этот специализированный калькулятор 3×3 поддерживает целые и десятичные числа, сохраняет точность в ходе вычислений и показывает полное разложение по первой строке, а не просто итоговое число без объяснения.

Примеры разложения по дополнениям

Эти матрицы иллюстрируют общий, диагональный и вырожденный случаи.

Строки матрицыОпределительОсобенность разложения
[1 2 3], [0 1 4], [5 6 0]1Алгебраические дополнения первой строки с учётом знаков: -24, 20 и -5.
[2 0 0], [0 3 0], [0 0 4]24Только первое произведение разложения отлично от нуля.
[1 2 3], [2 4 6], [0 1 1]0Вторая строка зависит от первой, поэтому матрица вырождена.

Как использовать разложение по дополнениям

  1. Введите девять значений матрицы по строкам.
  2. Выберите «Вычислить разложение по дополнениям».
  3. Изучите три минора 2×2 и их алгебраические дополнения с чередующимися знаками.
  4. Сложите показанные произведения, чтобы проверить определитель.

Частые вопросы о разложении по дополнениям

Чем минор отличается от алгебраического дополнения?

Минор — это определитель, полученный после удаления одной строки и одного столбца. Алгебраическое дополнение — этот минор, умноженный на знак из шахматной схемы.

Можно ли разложить по другой строке или столбцу?

Да, любое полное разложение по строке или столбцу даёт тот же определитель. Выбор строки или столбца с несколькими нулями обычно сокращает вычисления.

Почему знаки алгебраических дополнений чередуются?

Знак в строке i и столбце j определяется чётностью суммы i и j. Эта шахматная схема сохраняет ориентацию и антисимметрию определителя.

Что означает нулевой определитель?

Нулевой определитель означает, что матрица вырождена и не имеет обратной. Её строки или столбцы содержат линейную зависимость.

Принимает ли калькулятор десятичные числа?

Да, в каждую ячейку можно вводить целые или десятичные значения. Расчёты выполняются с двойной точностью, а округление применяется только при отображении.