Калькулятор полного квадрата трёхчлена

Трёхчлен, являющийся полным квадратом, — это многочлен из трёх слагаемых, полученный умножением двучлена на самого себя. Его структуру объясняют известные тождества (p + q)² = p² + 2pq + q² и (p - q)² = p² - 2pq + q². В ax² + bx + c первый и последний члены должны быть квадратами, а средний коэффициент — равняться удвоенному произведению коэффициентов их квадратных корней с положительным или отрицательным знаком. Распознавание этой структуры позволяет записать квадратное выражение в компактной форме произведения множителей. Калькулятор проверяет эквивалентное условие для дискриминанта b² - 4ac = 0, а также требует положительного старшего коэффициента и неотрицательного свободного члена. Нулевой дискриминант означает, что соответствующее квадратное уравнение имеет один двукратный действительный корень. Именно это происходит, когда один двучлен-множитель встречается дважды. При успешной проверке калькулятор выводит (sqrt(a)x + sqrt(c))², если b положителен, или (sqrt(a)x - sqrt(c))², если b отрицателен. Например, у x² + 6x + 9 крайние члены x² и 9 являются квадратами. Их корни — x и 3, а удвоенное произведение равно 6x и совпадает со средним членом. Поэтому выражение раскладывается как (x + 3)². Аналогично, у 4x² - 12x + 9 квадратные корни крайних членов — 2x и 3. Их удвоенное произведение равно 12x, а отрицательный средний член задаёт вычитание, давая (2x - 3)². Проверка коэффициентов работает и тогда, когда корни не являются целыми. Выражение может быть полным квадратом над действительными числами, даже если его разложение содержит десятичные или иррациональные коэффициенты. Отображаемый множитель округляется для удобства чтения, но решение принимается непосредственно по коэффициентам с небольшим числовым допуском. Это позволяет не отвергать математически верный результат лишь из-за того, что арифметика браузера не может точно представить каждую десятичную дробь. Полные квадраты трёхчленов используются при выделении полного квадрата, решении квадратных уравнений, построении парабол, упрощении рациональных выражений и выводе геометрических формул. Разложение сразу показывает вершину параболы и её двукратный корень на оси x. Используйте калькулятор для проверки распознанной структуры, затем сравните дискриминант и множитель со своими алгебраическими вычислениями. Это средство быстрой проверки сохраняет две ключевые идеи: крайние члены являются квадратами, а средний равен удвоенному произведению их корней с нужным знаком.