Калькулятор парадокса бесконечности Галилея

Парадокс Галилея начинается с двух наблюдений, которые кажутся несовместимыми. Полные квадраты — лишь часть положительных целых чисел: 1, 4, 9, 16 и так далее. Большинство натуральных чисел не являются квадратами, а в конечных выборках квадраты выглядят всё более редкими. Но каждому положительному натуральному числу n соответствует ровно один квадрат n в квадрате, а у каждого положительного квадрата есть ровно один положительный квадратный корень. Это взаимно однозначное соответствие указывает, что множество квадратов и множество всех натуральных чисел имеют одинаковый бесконечный размер. Калькулятор наглядно показывает конечную сторону. Среди натуральных чисел от 1 до границы N находится floor(sqrt(N)) полных квадратов. До 100 их 10, то есть 10% выборки. До 10,000 их 100, всего 1%. С ростом N доля floor(sqrt(N))/N стремится к нулю. На языке натуральной плотности полные квадраты имеют нулевую плотность среди натуральных чисел. Бесконечная сторона опирается на пары, а не на доли. Сопоставим 1 с 1, 2 с 4, 3 с 9 и в общем случае n с n в квадрате. Ни одно натуральное число на входе не пропущено, и ни один полный квадрат на выходе не повторён и не пропущен. Современная теория множеств называет такое правило биекцией. Два множества равномощны, если между ними существует биекция, даже когда одно является собственным подмножеством другого. Оба множества счётно бесконечны. Противоречие исчезает, если различать конечную долю и бесконечную мощность. Доля показывает, насколько плотно одно множество встречается внутри другого при увеличении границы. Мощность отвечает на вопрос, можно ли попарно сопоставить все элементы. Для конечных множеств это согласуется с привычной интуицией: собственное подмножество всегда содержит меньше элементов. Бесконечные множества ведут себя иначе, поскольку могут полностью сопоставляться со своими собственными подмножествами. Галилей обсуждал эту задачу ещё до появления строгой теории бесконечных кардинальных чисел. Позже Георг Кантор формализовал взаимно однозначное соответствие как способ сравнения бесконечных множеств. Парадокс остаётся полезным введением в счётную бесконечность, пределы, плотность и биекции. Постепенно увеличивайте границу и наблюдайте уменьшение конечного процента, помня, что отображение n в n в квадрате не исчерпывается ни с одной стороны. Инструмент не вычисляет бесконечность: он показывает, как конечные тенденции и бесконечное сопоставление отвечают на два разных математических вопроса.