Калькулятор парадокса отеля Гильберта

Смоделируйте, как полностью занятый отель с бесконечным числом номеров принимает ещё одного гостя, конечную группу или бесконечный автобус.

Симулятор номеров бесконечного отеля
Выберите сценарий прибытия и проследите, какой номер получит указанный гость или пассажир после переселения.

О парадоксе отеля Гильберта

Отель Гильберта — мысленный эксперимент математика Давида Гильберта, иллюстрирующий необычные свойства счётно бесконечных множеств. Представьте отель с номерами 1, 2, 3 и так далее без конца. Все номера заняты, поэтому управляющий конечным отелем повесил бы табличку «Мест нет». Но в бесконечном отеле ещё можно освободить место, переселив гостей по правилу, которое сопоставляет каждому прежнему гостю отдельный номер. Когда приходит один новый гость, гость 1 переходит в номер 2, гость 2 — в номер 3, а в общем случае гость n — в номер n плюс 1. У каждого прежнего гостя остаётся комната, а номер 1 освобождается. Для конечной группы из k новых гостей прежний гость n может перейти в номер n плюс k, освобождая первые k номеров. Калькулятор использует введённое число и как размер конечной группы, и как номер отслеживаемого гостя, поэтому показанный конечный номер вдвое больше этого числа. Сценарий с бесконечным автобусом ещё удивительнее. Если каждого нынешнего гостя переселить из номера n в номер 2n, все прежние гости окажутся в чётных номерах. Бесконечно много нечётных номеров останутся свободными. Пассажир автобуса n сможет занять номер 2n минус 1. Так каждому старому гостю и каждому новому пассажиру однозначно назначается номер, хотя обе группы бесконечны, а отель уже был полон. Парадокс не утверждает, что настоящий отель может вместить бесконечно много людей. Он показывает, что бесконечная мощность не подчиняется всем интуитивным правилам конечного счёта. Натуральные числа можно взаимно однозначно сопоставить собственному подмножеству, например чётным числам, поэтому оба множества имеют одинаковый счётно бесконечный размер. Не нужен ни последний переселяющийся гость, ни наибольший номер: переназначение является математическим отображением, а не последовательностью переселений, которую нужно завершить по одному. Используйте симулятор для просмотра отдельных назначений, а не попытки перечислить весь бесконечный процесс. Любой положительный целый индекс подчиняется одному правилу. Примеры связывают формулы с конкретными гостями, а пояснения показывают, почему два человека не получают одну комнату и почему в каждом назначенном номере ровно один постоялец.

Примеры отеля Гильберта

ПрибытиеПравило расселенияОсвободившееся место
Один новый гостьГость n переходит в номер n + 1Номер 1 свободен для прибывшего.
Пять новых гостейГость n переходит в номер n + 5Освобождаются номера с 1 по 5.
Один бесконечный автобусПрежний гость n идёт в 2n; пассажир n — в 2n - 1В чётных номерах живут прежние гости, в нечётных — пассажиры автобуса.

Как пользоваться симулятором бесконечного отеля

  1. Выберите прибытие одного гостя, конечной группы или бесконечного автобуса.
  2. Введите положительный целый номер гостя или пассажира, которого хотите проследить.
  3. Нажмите «Смоделировать расселение», чтобы применить взаимно однозначное отображение сценария.
  4. Сравните размещение прежних и новых гостей в панели результата.

Вопросы об отеле Гильберта

Как полный отель принимает ещё одного гостя?

Каждый нынешний гость переходит из номера n в номер n плюс 1. У всех остаётся комната, а номер 1 освобождается.

Может ли отель принять бесконечно много новых гостей?

Да, если их счётно бесконечно много. Прежние гости переходят в чётные номера, новые пассажиры занимают нечётные, и каждый получает отдельную комнату.

Переселение когда-нибудь заканчивается?

Рассуждение описывает полное математическое отображение, а не людей, переезжающих по очереди в реальном времени. Для каждого пронумерованного гостя место определено сразу, поэтому последнее переселение не требуется.

Что значит «счётно бесконечный»?

Множество счётно бесконечно, если его элементы можно взаимно однозначно сопоставить положительным целым числам. Натуральные, чётные и целые числа — стандартные примеры.

Почему чётных чисел столько же, сколько всех натуральных?

Правило n переходит в 2n сопоставляет каждому натуральному числу ровно одно чётное. Поэтому бесконечное множество может иметь ту же мощность, что и его собственное подмножество.