Калькулятор характеристического многочлена

Характеристический многочлен объединяет важнейшие сведения о квадратной матрице в одном многочлене. Его корни — собственные значения матрицы, описывающие масштабирование направлений или состояний, которые при соответствующем линейном преобразовании остаются на той же прямой. Калькулятор вычисляет многочлен вещественной матрицы 2 на 2, а также её след и определитель. Для матрицы с элементами a и b в первой строке и c и d во второй приведённый характеристический многочлен имеет вид p(λ) = det(λI - A). Раскрытие определителя даёт λ в квадрате минус (a + d), умноженное на λ, плюс (ad - bc). Величина a + d — это след, а ad - bc — определитель. Для матрицы 2 на 2 эти два значения полностью определяют характеристический многочлен. В некоторых учебниках используется определение det(A - λI). Для матриц чётного порядка, в том числе 2 на 2, оно даёт тот же многочлен, поэтому неоднозначности знака здесь нет. В нечётных размерностях определения отличаются общим знаком минус, но их корни совпадают. Используемое здесь определение приведённого многочлена делает старший коэффициент равным единице и широко применяется в линейной алгебре. Характеристические многочлены используются при вычислении собственных значений, анализе устойчивости, решении дифференциальных уравнений и рекуррентных соотношений, в квантовой механике, системах управления и науке о данных. Простейший пример — диагональная матрица: её собственные значения равны диагональным элементам, а многочлен представляет собой произведение разностей λ и каждого диагонального элемента. Кратный корень означает повторяющееся собственное значение, но наличие достаточного числа независимых собственных векторов требует отдельного исследования. Вводите обычные целые или десятичные числа построчно слева направо. Калькулятор сначала вычисляет след и определитель, затем подставляет их в общий вид квадратного многочлена. Десятичные результаты могут округляться при отображении, поэтому в символьных доказательствах иногда предпочтительнее точные дроби. Чтобы затем найти численные собственные значения, решите показанное квадратное уравнение разложением на множители или по формуле корней.