Калькулятор Arcsin - Обратная функция синуса
Вычислите обратный синус (arcsin) любого значения в [-1, 1] и получите результат в градусах или радианах.
Введите значение синуса между -1 и 1, выберите градусы или радианы и получите угол, синус которого равен этому значению.
Калькулятор Arcsin - Обратная функция синуса
Вычислите обратный синус (arcsin) любого значения в [-1, 1] и получите результат в градусах или радианах.
Допустимая область: -1 ≤ x ≤ 1
О калькуляторе арксинуса
Функция арксинуса, записываемая как arcsin(x) или sin⁻¹(x), является обратной функцией к синусу. Для любого значения x в интервале [-1, 1] функция arcsin(x) возвращает угол θ, синус которого равен x. Результат находится в диапазоне главного значения от -90° до 90° (или от -π/2 до π/2 радиан), который выбран по соглашению, чтобы обратная функция была единственной и однозначно определённой.
Арксинус является одной из шести обратных тригонометрических функций и, возможно, самой часто используемой после арктангенса. Он используется всякий раз, когда вы знаете отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике и хотите найти угол. Для треугольника, где противолежащая сторона имеет длину 3, а гипотенуза — 5, угол равен arcsin(3/5) = arcsin(0.6) ≈ 36.87°.
Область [-1, 1] отражает тот факт, что функция синуса всегда даёт значения в этом диапазоне для действительных углов. Попытка вычислить arcsin значения вне этого диапазона, например arcsin(2), не имеет действительного решения. В инженерии и физике нарушения области часто указывают на ошибку моделирования — например, завышенное соотношение — и должны вызвать проверку входных данных, а не креативную интерпретацию.
Справочные значения клавиатуры: arcsin(0) = 0°, arcsin(0.5) = 30°, arcsin(√2/2) ≈ 45°, arcsin(√3/2) ≈ 60°, arcsin(1) = 90°. Негативное зеркало: arcsin(-0.5) = -30°, arcsin(-1) = -90°. Эти значения возникают из стандартных прямоугольных треугольников и должны быть заучены для быстрых умственных проверок.
В физике arcsin используется в оптике для применения закона Снелла: угол преломления равен arcsin(n₁ × sin(θ₁) / n₂). В движении снаряда угол запуска для максимальной дальности на плоской поверхности равен arcsin(1/√2) = 45°. В электротехнике угол коэффициента мощности определяется с помощью арксинуса отношения реактивной мощности к полной мощности.
В статистике и теории вероятностей арксинусная трансформация (также называемая угловой трансформацией или арксинус-квадратной коренной трансформацией) используется для стабилизации дисперсии долей, делая статистические тесты более надежными для данных, близких к 0 или 1. В этом приложении используется arcsin(√p), где p — это доля, и она дает значения в диапазоне [0°, 90°].
Этот калькулятор возвращает основное значение, которое находится в диапазоне [-90°, 90°]. Если ваша задача требует угла за пределами этого диапазона — например, вы знаете, что синус равен 0.5, и ожидаете, что угол будет 150°, а не 30° — вам нужно применить дополнительную логику: 150° = 180° - 30° = 180° - arcsin(0.5).
Примеры арксинуса
Ключевые значения функции арксинуса для стандартных прямоугольных треугольников.
| Ввод | arcsin(x) | Объяснение |
|---|---|---|
| arcsin(0.5) | 30° ≈ 0.5236 рад | Синус 30° равен 0.5, следовательно, arcsin(0.5) = 30°. Классический результат для треугольника 30-60-90. |
| arcsin(0.7071) | 45° ≈ 0.7854 рад | arcsin(√2/2) = 45°. Происходит из 45-45-90 треугольника, где оба катета равны 1, а гипотенуза равна √2. |
| arcsin(0) | 0° = 0 рад | Синус 0° равен 0. arcsin(0) = 0, середина диапазона arcsin. |
| arcsin(-0.5) | -30° ≈ -0.5236 рад | Отрицательный ввод дает отрицательный выходной угол. arcsin(-0.5) = -30°, демонстрируя симметрию нечетной функции арксинуса. |
Как пользоваться калькулятором арксинуса
- Введите значение синуса в поле «Входное значение». Это должно быть число от -1 до 1 включительно.
- Выберите единицу вывода: нажмите «Градусы», чтобы получить ответ в градусах, или «Радианы» для эквивалента в радианах.
- Нажмите «Вычислить arcsin», чтобы получить результат. Выходной угол находится в диапазоне [-90°, 90°] для градусов или [-π/2, π/2] для радианов.
- Прочитайте результат на дисплее, который показывает полное выражение arcsin(x) = result.
- Нажмите «Сбросить», чтобы очистить ввод и начать заново с новым вычислением.
FAQ по калькулятору арксинуса
Почему область определения арксинуса ограничена [-1, 1]?
Функция синуса отображает реальные углы на интервал [-1, 1]. Ни один реальный угол не имеет синус больше 1 или меньше -1, поэтому обратная функция определена только на этом интервале. Ввод значения вне [-1, 1] соответствовал бы комплексному углу, что выходит за рамки данного калькулятора с действительными значениями.
Каков диапазон значений арксинуса?
Главное значение арксинуса находится в [-90°, 90°] для градусов или [-π/2, π/2] для радианов. Этот диапазон выбран, чтобы сделать арксинус правильной однозначной функцией. Если вам нужен угол за пределами этого диапазона, добавьте или вычтите 180° (или π) в зависимости от вашей конкретной задачи.
В чем разница между arcsin и arccos?
arcsin возвращает углы в диапазоне [-90°, 90°], в то время как arccos возвращает углы в диапазоне [0°, 180°]. Они связаны через arcsin(x) + arccos(x) = 90° for any x in [-1, 1]. Используйте arcsin, когда известен коэффициент противолежащего катета к гипотенузе, и arccos, когда известен коэффициент прилежащего катета к гипотенузе.
Является ли arcsin тем же, что и 1/sin?
Нет. arcsin(x) означает обратную функцию — угол, синус которого равен x. Обозначение sin⁻¹(x) может быть вводящим в заблуждение, потому что в большинстве других контекстов верхний индекс -1 означает обратное значение. Чтобы выразить 1/sin(x), напишите csc(x) (косеканс), а не sin⁻¹(x), чтобы избежать путаницы с обратной функцией.
Почему arcsin(-x) = -arcsin(x)?
Арксинус — нечётная функция, что означает arcsin(-x) = -arcsin(x). Это следует из того факта, что функция синуса также является нечетной: sin(-θ) = -sin(θ). Итак, если arcsin(x) = θ, то sin(θ) = x, и sin(-θ) = -x, что означает arcsin(-x) = -θ.
Как используется arcsin в законе Снеллиуса?
Закон Снелла гласит, что n₁ × sin(θ₁) = n₂ × sin(θ₂), где n₁ и n₂ — показатели преломления, а θ₁ и θ₂ — углы падения и преломления. Чтобы найти угол преломления, преобразуйте к sin(θ₂) = (n₁ / n₂) × sin(θ₁) and apply arcsin: θ₂ = arcsin((n₁/n₂) × sin(θ₁)). Этот калькулятор непосредственно выполняет последний шаг arcsin.