Калькулятор звезды

У правильной звезды внешние вершины лучей и внутренние впадины чередуются вокруг одного центра с одинаковым угловым шагом. Этот симметричный контур полностью задаётся тремя величинами: числом лучей, внешним радиусом и внутренним радиусом. Внешний радиус идёт от центра до вершины каждого луча, а внутренний — от центра до каждой впадины. Поэтому вершин на границе вдвое больше, чем видимых лучей. Калькулятор рассматривает контур как простой звёздчатый многоугольник без самопересечений. Фигура разбивается на равные треугольники, сходящиеся в центре. Угол между каждой внешней вершиной и следующей внутренней равен pi, делённому на число лучей. Сумма площадей всех 2n треугольников упрощается до формулы: площадь = n × внешний радиус × внутренний радиус × sin(pi/n). Метод точен для любой правильной звезды с чередующимися радиусами. Каждая сторона границы соединяет внешнюю вершину с соседней внутренней. Теорема косинусов позволяет найти её длину по двум радиусам и углу между ними: квадрат стороны равен сумме квадратов внешнего и внутреннего радиусов минус удвоенное произведение радиусов на cos(pi/n). На каждый луч приходятся две стороны, поэтому периметр равен длине стороны, умноженной на 2n. Результаты для длин выражаются в тех же единицах, что и радиусы, а площадь — в соответствующих квадратных единицах. Такая геометрия полезна для вывесок, значков, лоскутных узоров, украшений для лазерной резки, логотипов, схем мощения и учебных задач. Изменяя внутренний радиус, можно делать лучи более острыми или широкими, не меняя внешний диаметр. Малый внутренний радиус создаёт глубокие узкие впадины; при значении, близком к внешнему радиусу, фигура приближается к правильному многоугольнику с неглубокими выемками. Число лучей должно быть целым и не меньше трёх. Оба радиуса должны быть положительными, причём внутренний должен быть меньше внешнего. Калькулятор не моделирует самопересекающуюся пентаграмму из непрерывной последовательности диагоналей: он измеряет заполненный контур звезды с чередующимися внешними и внутренними вершинами. Перед изготовлением сохраняйте достаточную точность отображаемых размеров с учётом допусков материала и технологии.