Калькулятор проекции вектора
Спроецируйте вектор 2D или 3D на другой вектор и вычислите скалярный коэффициент.
Расчёт проекции вектора
Введите вектор A, чтобы спроецировать его на направление, заданное вектором B.
О проекции вектора
Векторная проекция находит часть одного вектора, лежащую в направлении другого. Представьте свет, падающий перпендикулярно прямой: тень вектора A на прямой, заданной вектором B, и есть его проекция на B. Результат — вектор, параллельный B, который показывает, какая часть A действует в выбранном направлении.
Чтобы вычислить проекцию A на B, сначала найдите скалярное произведение A·B. Затем разделите его на B·B, то есть квадрат длины B. Это частное — скалярный коэффициент. Умножив каждую компоненту B на него, вы получите вектор проекции. Калькулятор показывает и коэффициент, и итоговые координаты, чтобы шаг масштабирования был наглядным.
Знак коэффициента указывает направление. Положительное значение означает, что проекция сонаправлена с B, отрицательное — направлена противоположно. Нулевой коэффициент означает, что A и B перпендикулярны, поэтому у A нет составляющей вдоль B. Если A уже параллелен B, проекция совпадает с A, даже если длина B отличается.
Если B — нулевой вектор, проекция не определена: он не задаёт направления и обращает знаменатель формулы в ноль. Калькулятор выявляет этот случай и просит указать ненулевой целевой вектор. Для двумерной задачи введите ноль в обе компоненты z. Поддерживаются десятичные и отрицательные координаты; оба вектора должны быть заданы в одной системе координат.
Векторные проекции — важный инструмент физики и инженерии. Они позволяют выделять силы вдоль наклонной плоскости, разлагать скорость на горизонтальную и вертикальную части и вычислять работу по силе и перемещению. В геометрии проекции помогают находить расстояния и ближайшие точки. В компьютерной графике они используются для освещения, преобразований камеры, реакции на столкновения и смены координат. В статистике и машинном обучении проекция представляет данные вдоль выбранных направлений и лежит в основе метода наименьших квадратов.
Векторная проекция отличается от скалярной. Скалярная проекция — это длина A со знаком вдоль единичного вектора в направлении B, а показанный здесь коэффициент — множитель, применяемый непосредственно к B. Векторная проекция однозначна и не меняется, если заменить B любым его ненулевым скалярным кратным. Вычтите проекцию из A, чтобы разложить A на параллельную и перпендикулярную составляющие.
Примеры проекции вектора
| Векторы | Проекция | Пояснение |
|---|---|---|
| A = (3, 4), B = (1, 0) | (3, 0) | Остаётся только горизонтальная составляющая. |
| A = (2, 2), B = (1, 1) | (2, 2) | A уже параллелен B. |
| A = (1, 0), B = (0, 2) | (0, 0) | У перпендикулярных векторов проекция нулевая. |
Как вычислить проекцию вектора
- Введите все компоненты вектора A, который нужно спроецировать.
- Введите ненулевой вектор B, задающий целевое направление.
- В двумерной задаче укажите ноль для обеих компонент z.
- Нажмите «Рассчитать проекцию» и посмотрите коэффициент и вектор проекции.
Вопросы о проекции вектора
Что значит спроецировать A на B?
Это значит найти составляющую A, параллельную B. Полученный вектор направлен вдоль B или противоположно ему.
Почему нельзя проецировать на нулевой вектор?
У нулевого вектора нет определённого направления. Кроме того, квадрат его длины в знаменателе формулы проекции равен нулю.
Может ли коэффициент проекции быть отрицательным?
Да. Отрицательный коэффициент означает, что A частично направлен против B. Вектор проекции в этом случае направлен противоположно введённому B.
Что происходит, если векторы перпендикулярны?
Их скалярное произведение равно нулю, поэтому проекция — нулевой вектор. Это означает, что у A нет составляющей вдоль B.
Как найти перпендикулярную составляющую?
Вычтите вектор проекции из вектора A. Остаток ортогонален вектору B и завершает разложение.