Калькулятор ортоцентра

Ортоцентр — общая точка пересечения трёх высот треугольника или их продолжений. Здесь под высотой понимается прямая, проходящая через вершину перпендикулярно прямой, содержащей противоположную сторону. Построение всех трёх высот делает рисунок наглядным, но для расчёта достаточно двух: если две различные высоты пересекаются, третья проходит через ту же точку. Это свойство является фундаментальной теоремой евклидовой геометрии. Положение ортоцентра зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри. В прямоугольном катеты уже являются взаимно перпендикулярными высотами, поэтому ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. В тупоугольном треугольнике высоты пересекаются снаружи, поскольку как минимум две противоположные стороны нужно продолжить. Внешняя координата — допустимый ответ, а не признак ошибки. Аналитическая геометрия выражает перпендикулярность через скалярные произведения. Прямая от вершины A к неизвестной точке H является высотой, если вектор H минус A перпендикулярен стороне BC. Их скалярное произведение равно нулю. Второе уравнение требует перпендикулярности вектора H минус B стороне AC. Раскрытие произведений даёт систему из двух линейных уравнений относительно координат x и y точки H. Калькулятор решает её напрямую, избегая формул углового коэффициента, которым нужны отдельные случаи для вертикальных прямых. Если три точки коллинеарны, они не задают треугольник. Уравнения высот тогда не имеют единственной точки пересечения, что алгебраически выражается нулевым определителем. Калькулятор обнаруживает это и просит ввести неколлинеарные вершины. Повторяющиеся точки отклоняются по той же геометрической причине. Допускаются десятичные и отрицательные координаты, поэтому метод работает во всех четвертях и не требует сторон, параллельных осям. Ортоцентр — один из четырёх классических центров треугольника. Центр тяжести является пересечением медиан, центр вписанной окружности — биссектрис углов, а центр описанной окружности — серединных перпендикуляров. В общем случае это разные точки. Центр тяжести, центр описанной окружности и ортоцентр лежат на прямой Эйлера, а их положения связаны простым отношением. В равностороннем треугольнике из-за симметрии все четыре центра совпадают. Калькулятор полезен для аналитической геометрии, проверки построений, задач о центрах треугольника и компьютерной графики. Вводите каждую упорядоченную пару внимательно, не меняя соответствие координат x и y. Результат округляется для удобства чтения, но уравнения вычисляются с полной точностью чисел с плавающей точкой JavaScript. Подстановка результата в любое из уравнений скалярного произведения позволяет проверить его напрямую.