Калькулятор объема эллипсоида
Рассчитайте точный объем и приближенную площадь поверхности эллипсоида по трем полуосям.
Размеры эллипсоида
Введите три положительных радиуса, измеренных от центра вдоль взаимно перпендикулярных осей.
Об объеме и площади поверхности эллипсоида
Эллипсоид — трехмерная поверхность, полученная растяжением или сжатием сферы в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Расстояния от центра до поверхности вдоль этих направлений называются полуосями и обычно обозначаются a, b и c. Если все три равны, получается сфера. Если равны две, получается сфероид. Если все различны, его часто называют трехосным эллипсоидом. Три положительные длины полуосей полностью определяют объем и геометрические пропорции идеализированной формы.
Формула объема эллипсоида точная: четыре трети числа пи умножаются на произведение трех полуосей. Это следует из независимого масштабирования единичного шара по трем направлениям: каждый коэффициент масштаба умножает заключенный объем. Удвоение одной оси удваивает объем, а удвоение всех трех увеличивает его в восемь раз. Поскольку вводятся радиусы, а не полные диаметры, перед вводом разделите измеренные диаметры на два. Если исходные размеры в сантиметрах, результат будет в кубических сантиметрах.
В отличие от объема, площадь поверхности произвольного трехосного эллипсоида не имеет простой элементарной формулы. Точные выражения включают эллиптические интегралы. Калькулятор использует приближение Кнуда Томсена с показателем 1.6075 — распространенную формулу, объединяющую три попарных произведения полуосей. Для сферы она точна, а для практических форм обычно очень точна, но для сильно вытянутых или сплюснутых эллипсоидов ее все равно следует считать приближением. Отображаемое примечание отличает это значение от точного объема.
Эллипсоидные модели полезны в геометрии, астрономии, геодезии, инженерии, медицине, производстве и оценках резервуаров, частиц, органов, планет и округлых объектов. Реальные объекты могут не быть идеальными эллипсоидами, поэтому погрешность измерений бывает важнее численного округления. Измерьте три полные ширины через центр, разделите каждую пополам и используйте одну единицу. Площадь выражается в квадратных единицах, объем — в кубических. Полезная проверка: перестановка a, b и c не должна менять ответы. Для сферы трехкратный ввод одного радиуса должен воспроизвести привычные формулы. Для удобства чтения результаты округляются до шести знаков после запятой, при этом внутренний расчет сохраняет большую точность.
Примеры эллипсоидов
| Полуоси | Объем | Форма |
|---|---|---|
| a = 3, b = 2, c = 1 | 25.132741 | Трехосный эллипсоид. |
| a = 2, b = 2, c = 2 | 33.510322 | Равные оси образуют сферу. |
| a = 5, b = 5, c = 2 | 209.43951 | Сплюснутый сфероид. |
Как рассчитать эллипсоид
- Измерьте три взаимно перпендикулярных диаметра через центр.
- Разделите каждый диаметр на два и введите полученную полуось.
- Выберите «Рассчитать эллипсоид», чтобы найти объем и приближенную площадь поверхности.
- Используйте кубическую и квадратную степень исходной единицы для интерпретации ответов.
Часто задаваемые вопросы
Нужно вводить радиусы или диаметры?
Вводятся полуоси — подобные радиусам расстояния от центра до поверхности. Перед вводом разделите каждый полный диаметр на два.
Объем точный?
Да, формула объема идеального эллипсоида точная. На отображаемое десятичное значение влияет только обычное округление чисел с плавающей точкой.
Площадь поверхности точная?
В общем случае площадь приближенно вычисляется по формуле Кнуда Томсена. Для сфер она точна, а для многих практических эллипсоидов дает высокую точность.
Что происходит, если все оси равны?
Эллипсоид становится сферой с радиусом, равным общей полуоси. Оба расчета сводятся к стандартным формулам для сферы.
Можно вводить оси в любом порядке?
Да, объем и площадь поверхности симметричны относительно трех полуосей. Перестановка тех же трех длин не меняет ни один результат.