Калькулятор кубических уравнений

Решайте полиномиальные уравнения третьей степени и находите все действительные и комплексные корни методом Кардано.

Решить кубическое уравнение

Введите все четыре коэффициента. Старший коэффициент не должен быть нулевым.

a умножить на x в кубе + b умножить на x в квадрате + cx + d = 0

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

Коэффициент d

О кубических уравнениях

Кубическое уравнение — это полиномиальное уравнение, в котором наибольшая степень равна трём. Его стандартная форма содержит коэффициенты a, b, c и d, причём старший коэффициент не равен нулю. С учётом комплексных корней и кратности любое кубическое уравнение имеет ровно три корня. В зависимости от коэффициентов это могут быть три различных действительных значения, действительные значения с повторениями либо один действительный корень и пара комплексно-сопряжённых. Калькулятор использует классические идеи формулы Кардано. Сначала все коэффициенты делятся на старший, чтобы сделать многочлен приведённым. Затем замена переменной устраняет член второй степени и даёт кубическое уравнение без квадратичного члена. Две полученные величины, обычно обозначаемые p и q, определяют дискриминант. Положительный дискриминант даёт один действительный и два комплексно-сопряжённых корня. Отрицательный — три различных действительных корня, которые вычисляются в тригонометрической форме без ненужных промежуточных комплексных значений. Нулевой дискриминант указывает на кратные корни. Комплексные корни отображаются с действительной частью и мнимой частью с множителем i. Поскольку исходные коэффициенты действительны, недействительные корни образуют сопряжённые пары: действительные части совпадают, а мнимые имеют противоположные знаки. При выводе результаты округляются, поэтому подстановка округлённого иррационального корня в многочлен может дать очень малую невязку. Точные целые корни отображаются без лишних нулей после десятичного разделителя. Кубические уравнения описывают объём, движение, оптимизацию, пересечения, поведение жидкостей и множество других научных и инженерных зависимостей. Они также возникают при разложении многочленов более высоких степеней и поиске собственных значений трёхмерных систем. Перед вводом коэффициентов перенесите все члены в одну сторону равенства и приведите подобные. Для отсутствующих членов укажите ноль. Например, для x в кубе плюс 1 коэффициент a равен 1, b и c равны 0, а d равен 1. Умножение всех коэффициентов на одну и ту же ненулевую константу не меняет корни. Калькулятор выдаёт все три решения для разложения многочлена на множители, изучения кратных корней или дальнейшего численного анализа.

Примеры кубических уравнений

Тип корней зависит от коэффициентов и дискриминанта.

Уравнение	Корни	Тип корней
x в кубе - 6 умножить на x в квадрате + 11x - 6 = 0	1, 2, 3	Три различных действительных корня.
x в кубе + 1 = 0	-1, 0.5 плюс или минус 0.8660254i	Один действительный корень и комплексно-сопряжённая пара.
x в кубе - 3x + 2 = 0	-2, 1, 1	Один простой и один кратный корень.

Как решить кубическое уравнение

Перенесите все члены в одну сторону и расположите их от третьей степени до свободного члена.
Введите a, b, c и d, указав ноль для каждой отсутствующей степени.
Нажмите «Решить кубическое уравнение», чтобы применить дискриминант и соответствующий случай метода Кардано.
Просмотрите все три действительных или комплексных корня с учётом повторяющихся значений.

Частые вопросы

Сколько корней у кубического уравнения?

С учётом комплексных значений и кратности корней три. Число различных действительных корней зависит от дискриминанта.

Почему корни кубического уравнения бывают комплексными?

У кубического уравнения с действительными коэффициентами всегда есть хотя бы один действительный корень, но два других могут не лежать на действительной прямой. Тогда они образуют комплексно-сопряжённую пару.

Что делать, если коэффициент отсутствует?

Введите ноль для коэффициента при отсутствующей степени. Если пропустить его позицию, остальные значения будут отнесены к неверным членам.

Может ли коэффициент a равняться нулю?

Нет. При нулевом старшем коэффициенте уравнение становится квадратным или более низкой степени, а не кубическим. Используйте решатель для соответствующей степени.

Что означает кратный корень?

Кратный корень встречается в разложении многочлена на множители более одного раза. На графике он часто соответствует точке, где кривая касается горизонтальной оси, не пересекая её.

Точны ли отображаемые корни?

Целые и простые десятичные корни могут отображаться точно, а иррациональные и комплексные компоненты округляются. Внутренние вычисления используют стандартную точность с плавающей точкой.