Calculadora do método da substituição

Resolva um sistema linear de duas variáveis e identifique solução única, incompatibilidade ou equações dependentes.

Resolver duas equações lineares
Informe os coeficientes de a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2.

Sobre a resolução por substituição

O método da substituição resolve equações simultâneas expressando uma variável em função da outra e inserindo essa expressão na segunda equação. Em um sistema linear de duas variáveis, as duas equações devem ser verdadeiras no mesmo ponto. Uma solução única é um par ordenado cujos valores de x e y satisfazem cada equação. No gráfico, esse par é a interseção das duas retas. Escreva as equações como a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2. Para substituir manualmente, escolha uma variável com coeficiente não nulo conveniente. Por exemplo, isole x na primeira equação, obtendo x = (c1 - b1y) / a1. Troque x na segunda por essa expressão, resolva a equação de uma variável para encontrar y e substitua y em uma das equações originais para obter x. Por fim, confira os dois valores nas duas equações. Esta calculadora usa fórmulas de determinantes matematicamente equivalentes para não depender do coeficiente mais fácil de isolar. O determinante é a1b2 - a2b1. Quando é diferente de zero, as retas têm direções distintas e exatamente uma solução. As coordenadas são x = (c1b2 - c2b1) dividido pelo determinante e y = (a1c2 - a2c1) dividido pelo determinante. São os mesmos valores obtidos por uma substituição correta. Um determinante zero exige interpretação especial. Se uma equação inteira for múltipla da outra, ambas descrevem a mesma reta e todos os pontos dela são soluções. O sistema é dependente e tem infinitas soluções. Se os coeficientes das variáveis forem proporcionais, mas as constantes não, as retas são paralelas e nunca se encontram. Esse sistema incompatível não tem solução. O painel distingue esses casos em vez de tentar dividir por zero. Sistemas lineares modelam preços e quantidades, misturas, distâncias e velocidades, orçamentos, geometria analítica e muitas outras relações. Mantenha os sinais negativos junto aos coeficientes e informe zero quando uma variável não aparecer. Coeficientes decimais são aceitos, embora frações exatas possam gerar dízimas periódicas. O arredondamento ocorre apenas na exibição; os cálculos usam toda a precisão numérica do JavaScript. Sempre confira resultados importantes substituindo x e y nas equações originais.

Exemplos do método da substituição

Cada sistema mostra a relação entre as equações e sua interseção.

SistemaSoluçãoVerificação
x + y = 5; 2x - y = 1(2, 3)As duas equações são satisfeitas
2x + 3y = 7; x - y = 1(2, 1)Substitua x = y + 1
x + y = 4; x - y = 0(2, 2)As retas se encontram em um ponto

Como usar a calculadora de substituição

  1. Organize as duas equações na forma ax + by = c.
  2. Informe os coeficientes de x e y e a constante da primeira equação.
  3. Informe os três valores correspondentes da segunda equação.
  4. Selecione Resolver por substituição e veja a classificação da solução e as coordenadas.
  5. Confira as coordenadas substituindo-as nas duas equações originais.

Perguntas frequentes sobre substituição

Quando a substituição é o método mais fácil?

Ela é especialmente prática quando uma variável tem coeficiente 1 ou -1. Também é útil quando uma equação já está isolada em uma variável.

O que significa não ter solução?

Significa que as equações representam retas paralelas distintas. Os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas as constantes são incompatíveis.

O que significa ter infinitas soluções?

As duas equações descrevem a mesma reta, mesmo que uma pareça uma versão multiplicada da outra. Todo ponto dessa reta satisfaz ambas.

Um coeficiente pode ser zero?

Sim. Zero indica que a variável não aparece na equação. O sistema ainda pode ter solução única se as duas equações juntas determinarem ambas as variáveis.

Como conferir a resposta?

Substitua x e y em cada equação original pelos valores exibidos. O lado esquerdo de cada equação deve ser igual à constante indicada.