모듈러 곱셈 역원 계산기

법 m에 대한 곱셈 역원은 모듈러 연산에서 곱셈을 되돌리는 정수입니다. 정수 a의 역원 x는 a와 x의 곱을 m으로 나눈 나머지가 1이라는 조건을 만족합니다. 보통 a와 x의 곱이 법 m에 대해 1과 합동이라고 표현합니다. 예를 들어 3 곱하기 4는 12이고, 12를 11로 나눈 나머지는 1이므로 4는 법 11에 대한 3의 곱셈 역원입니다. 모든 정수 쌍에 역원이 존재하지는 않습니다. 필요충분조건은 a와 m이 서로소, 즉 최대공약수가 1인 것입니다. 법 9에 대한 6을 보면, 6의 모든 배수는 9와 공약수 3을 공유하므로 나머지가 1일 수 없습니다. 반면 7과 26의 최대공약수는 1이며, 105를 26으로 나눈 나머지가 1이므로 법 26에 대한 7의 역원은 15입니다. 계산기는 답을 표시하기 전에 최대공약수를 확인합니다. 확장 유클리드 알고리즘은 역원을 효율적으로 찾습니다. 일반 유클리드 알고리즘은 나눗셈과 나머지 계산을 반복하여 최대공약수를 구합니다. 확장 알고리즘은 계수까지 추적해 최대공약수를 원래 입력값의 정수 선형결합으로 나타냅니다. 최대공약수가 1이면 a에 곱해지는 계수가 역원입니다. 이 계수는 음수일 수 있으므로 계산기는 법 m으로 환산하여 영부터 m 빼기 일까지의 최소 비음수 대표값을 표시합니다. 모듈러 역원을 이용하면 합동식에서 나눗셈에 해당하는 연산을 할 수 있습니다. a와 x의 곱이 법 m에 대해 b와 합동인 식을 풀려면, 역원이 존재할 때 b에 a의 역원을 곱하면 됩니다. 역원은 일차 합동식, 중국인의 나머지 정리, 모듈러 분수, 해싱, 오류 검출, 공개키 암호에서 중요합니다. 예를 들어 RSA 키 생성에는 오일러 피 함수 값을 법으로 하는 지수의 역원을 구하는 과정이 포함됩니다. 실제 암호 구현에는 일반 브라우저 숫자 대신 엄격하게 검토된 임의 정밀도 라이브러리를 사용합니다. 정수만 입력하고 법은 1보다 크게 설정하세요. 모든 음의 정수에는 법 m에 대해 동등한 최소 비음수 나머지가 있으므로 a는 음수여도 됩니다. 이 계산기는 JavaScript 안전한 정수를 사용하며 수업 연습이나 중간 규모의 정수론 문제에 적합합니다. 최대공약수와 직접 곱셈 검산을 표시하므로 역원이 실제로 나머지 1을 만드는지 확인할 수 있습니다. 매우 큰 암호학 입력에는 큰 정수와 보안에 민감한 계산을 위해 설계된 소프트웨어를 사용하세요.