이차함수 표준형 계산기

표준형은 포물선의 방향이 바뀌는 꼭짓점을 바로 보여 주는 유용한 이차함수 표현입니다. 식은 y = a(x - h)² + k이며 꼭짓점은 (h, k)입니다. 계수 a는 포물선이 열리는 방향과 폭을 결정합니다. a가 양수이면 위쪽으로, 음수이면 아래쪽으로 열리며 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아집니다. 같은 이차함수를 일반형으로 쓰면 y = ax² + bx + c입니다. 이 형식에서 c는 y절편이지만 꼭짓점은 바로 드러나지 않습니다. 일반형을 표준형으로 바꾸려면 h = -b/(2a)를 구하세요. 그런 다음 h를 함수에 대입해 k를 구하거나 k = c - b²/(4a)를 사용합니다. 이 공식들은 완전제곱식을 만드는 과정과 같습니다. 표준형을 다시 일반형으로 바꾸려면 제곱식을 전개합니다. a에 (x - h)²를 곱하면 ax² - 2ahx + ah²입니다. 여기에 k를 더하므로 일반형의 계수는 b = -2ah, c = ah² + k가 됩니다. 두 식은 같은 포물선을 나타내므로 어느 방향으로 변환해도 최고차항 계수 a는 바뀌지 않습니다. a가 양수이면 꼭짓점에서 최솟값을, 음수이면 최댓값을 가집니다. 수직선 x = h가 대칭축입니다. 이 선에서 좌우로 같은 수평 거리에 있는 점은 y값이 같습니다. 이러한 대칭성 덕분에 표준형은 그래프 그리기, 최적화, 포물선 운동, 수익 모형 및 최댓값이나 최솟값을 구하는 문제에 특히 유용합니다. 계수 a는 영일 수 없습니다. 영이면 제곱항이 사라져 이차식이 아닌 일차 형태가 되기 때문입니다. 다른 계수와 꼭짓점 좌표는 양수, 음수, 영 또는 소수일 수 있습니다. 표준형을 읽을 때는 빼기 기호에 주의하세요. (x - 3)은 h = 3을, (x + 3)은 h = -3을 뜻합니다. 이 계산기는 대수 연산을 수치적으로 수행하고 변환된 식과 꼭짓점을 표시합니다. 필요하면 결과를 소수점 아래 여섯 자리로 반올림합니다. 입력값과 계산된 계수의 관계가 분명하도록 계수가 일이나 영인 항도 생략하지 않습니다. 완전제곱식 변형을 확인하거나, 그래프를 준비하거나, 대수 문제에서 요구하는 형식으로 바꿀 때 사용할 수 있습니다.