행렬 거듭제곱 계산기

행렬 거듭제곱은 일반적인 거듭제곱이 스칼라 곱셈을 반복하듯 행렬 곱셈을 반복하는 연산입니다. A가 정사각행렬이면 A의 제곱은 A에 A를 곱한 것이고, 세제곱은 여기에 A를 한 번 더 곱한 것입니다. 행렬 곱셈은 대응하는 원소끼리 곱하는 연산이 아닙니다. 결과의 각 원소는 한 행과 한 열의 내적입니다. 이러한 차이 때문에 행렬 거듭제곱은 반복되는 선형변환을 설명하는 데 유용합니다. 같은 행렬을 곱할 때마다 차원이 맞아야 하므로 일반적인 정수 거듭제곱은 정사각행렬에만 정의됩니다. 양의 지수 n은 변환을 n번 반복한다는 뜻입니다. 이는 이산 동역학계, 마르코프 연쇄, 그래프의 보행, 점화식, 개체군 모형, 컴퓨터 그래픽 등에 등장합니다. 예를 들어 인접행렬의 n제곱에 있는 원소는 두 꼭짓점 사이에서 길이가 n인 보행의 수를 나타낼 수 있습니다. 모든 정사각행렬의 영제곱은 같은 크기의 단위행렬로 정의됩니다. 단위행렬은 주대각선 원소가 일이고 나머지는 영이며, 이를 곱해도 원래 행렬은 변하지 않습니다. 이 정의는 A의 m제곱에 A의 영제곱을 곱하면 A의 m제곱이 된다는 등의 지수 법칙을 유지합니다. 음의 거듭제곱에는 역행렬을 사용합니다. A의 마이너스 일제곱은 A의 역행렬이며, A의 마이너스 n제곱은 역행렬의 n제곱입니다. 이는 A가 비특이행렬일 때만 가능합니다. 소거 과정에서 영이 아닌 피벗을 찾을 수 없으면 역행렬이 존재하지 않으므로, 계산기는 요청한 음의 거듭제곱이 정의되지 않는다고 안내합니다. 이 계산기는 곱셈을 하나씩 반복하는 대신 제곱을 이용한 거듭제곱 알고리즘을 사용합니다. 현재 밑을 제곱하면서 지수의 해당 이진 자릿값이 일일 때만 그 값을 결과에 곱합니다. 행렬 곱셈 횟수가 대략 n번에서 n의 로그 수준으로 줄어 큰 지수도 효율적으로 계산할 수 있습니다. 음의 지수는 부분 피벗 선택을 적용한 가우스-조르당 소거법으로 먼저 역행렬을 구합니다. 반올림은 표시할 때만 적용하여 부동소수점 연산의 불필요한 오차 표시를 줄이고 실용적인 정밀도를 유지합니다. 정수나 소수를 입력하고 열은 쉼표, 행은 세미콜론으로 구분하세요.