행렬 대각합 계산기

정사각행렬의 대각합은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 이어지는 주대각 원소의 합입니다. 대각 원소가 a와 d인 2 × 2 행렬의 대각합은 a와 d를 더한 값입니다. 비대각 원소는 직접 더하지 않으므로, 대각합은 중요한 행렬 특성 중에서도 매우 빠르게 계산할 수 있는 값입니다. 대각합은 정사각행렬에 대해서만 정의됩니다. 모든 행을 해당 열과 주대각선에서 짝지을 수 있는 것은 정사각행렬뿐이기 때문입니다. 결과는 스칼라이며 양수, 음수 또는 0이 될 수 있습니다. 대각합이 0이라고 해서 영행렬이나 특이행렬인 것은 아닙니다. 양수와 음수인 대각 원소가 서로 상쇄될 수도 있습니다. 대각합에는 유용한 대수적 성질이 여러 가지 있습니다. 선형성을 가지므로 A와 B를 더한 행렬의 대각합은 A의 대각합과 B의 대각합을 더한 값과 같고, 행렬에 상수를 곱하면 대각합에도 같은 상수가 곱해집니다. 또한 닮음변환에도 변하지 않습니다. 닮은 행렬은 같은 선형변환을 서로 다른 기저로 나타내지만 대각합은 같습니다. 따라서 대각합은 좌표 선택에 의존하지 않는 요약값으로 유용합니다. 또 다른 중요한 항등식은 A 곱하기 B와 B 곱하기 A가 모두 정의되고 정사각행렬일 때 두 곱의 대각합이 같다는 것입니다. 행렬 곱셈 자체는 교환법칙을 만족하지 않지만, 대각합에서는 이러한 순환적 재배열이 가능합니다. 더 긴 곱에서도 인자들을 순환 이동해도 대각합은 변하지 않습니다. 이 성질은 통계학, 최적화, 양자역학에서 자주 사용됩니다. 대각합은 대수적 중복도를 고려한 행렬의 고윳값 총합과도 같으며, 고윳값이 복소수일 때도 성립합니다. 특성다항식, 발산 계산, 공분산 분석, 이차형식의 기댓값, 양자 상태 표현 등에 쓰입니다. 미분방정식에서는 동역학계의 국소적 팽창이나 수축을 설명하는 데 도움이 됩니다. 이 계산기는 모든 행의 길이가 같고 행렬이 정사각형인지 확인한 뒤 대각 원소를 직접 더합니다. 정수, 음수, 소수를 입력할 수 있습니다. 대각 원소마다 한 번만 더하면 되므로 행렬 크기가 커져도 빠르게 계산됩니다. 표시값은 무의미한 부동소수점 오차를 없애는 데 필요한 만큼만 반올림합니다.