극분해 계산기

극분해는 실수 행렬 A를 곱 QP로 분해합니다. 가역 정사각 행렬에서는 Q가 직교 행렬이고 P가 대칭 양의 정부호 행렬입니다. 직교 행렬은 길이와 각도를 보존하므로 회전이나 반사를 나타냅니다. 양의 정부호 인자는 회전을 더하지 않고 서로 수직인 주방향을 따라 공간을 늘이거나 줄입니다. 이는 0이 아닌 복소수를 크기와 단위 방향의 곱으로 표현하는 것에 대응합니다. 이 계산기는 가역 실수 이차 정사각 행렬을 처리합니다. 먼저 A의 전치와 A를 곱하여 대칭 그람 행렬을 만들고, 이 행렬의 양의 정부호 제곱근을 P로 구합니다. 이차 양의 정부호 행렬의 제곱근은 대각합과 행렬식으로 직접 계산할 수 있어 반복 근사가 필요하지 않습니다. 이후 A와 P의 역행렬을 곱해 Q를 구합니다. 표시되는 원소는 소수점 이하 여섯 자리로 반올림하지만 내부 계산은 JavaScript 배정밀도를 유지합니다. 인자에는 결과를 쉽게 확인할 수 있는 항등 관계가 있습니다. Q의 전치와 Q를 곱하면 반올림 오차를 제외하고 단위 행렬이 됩니다. P는 자신의 전치와 같으며 고윳값이 양수입니다. 마지막으로 Q와 P를 곱하면 원래 행렬 A가 복원됩니다. 단위 행렬의 두 인자는 모두 단위 행렬입니다. 사분의 일 회전과 축마다 다른 배율의 확대·축소가 결합된 행렬에서는 Q가 회전을 분리하고 P가 두 신장 계수를 기록합니다. 극분해는 역학, 그래픽스, 수치 해석, 최적화, 통계에 활용됩니다. 연속체 역학에서는 변형을 강체 회전과 순수 신장으로 분리합니다. 컴퓨터 그래픽스에서는 크기 조절이나 전단이 포함된 변환에서 회전을 추출하는 데 유용합니다. 직교 프로크루스테스 문제는 극분해 인자로 가장 가까운 직교 행렬을 찾으며, 기하학적 구조 보존이 중요한 수치 알고리즘에서는 극분해 반복법을 사용합니다. 특이 행렬도 극분해를 가질 수 있지만 직교 인자가 유일하지 않을 수 있어 추가 규약이 필요합니다. 이 계산기는 P의 역행렬이 존재하고 분해가 명확하도록 입력을 가역 행렬로 제한합니다. 조건수가 매우 큰 행렬은 한 신장 방향이 0에 가까워 부동소수점 오차를 증폭시킬 수 있습니다. 결과를 학습과 계산 보조용으로 활용하고, 중요한 수치 작업은 임의 정밀도나 더 큰 차원의 행렬을 지원하는 소프트웨어로 확인하세요.