QR 분해 계산기

QR 분해는 행렬 A를 Q와 R의 곱으로 분해합니다. Q의 열은 정규 직교하며, 각 열의 길이가 하나이고 서로 다른 열은 수직이라는 뜻입니다. R은 상삼각 행렬이므로 주대각선 아래의 모든 원소가 영입니다. 완전 계수 정사각 행렬에서는 표시된 Q와 R을 곱하면 소수 반올림으로 인한 작은 차이를 제외하고 원래 행렬이 복원됩니다. 이 계산기는 실수 2행 2열 행렬을 분해합니다. 계산에는 A의 열에 적용하는 고전적인 그람-슈미트 과정을 사용합니다. 먼저 첫 번째 열의 유클리드 길이를 구합니다. 이 열을 길이로 나누면 Q의 첫 단위 벡터가 되고, 길이 자체는 R의 첫 대각 원소가 됩니다. 다음으로 두 번째 열을 첫 단위 벡터에 정사영합니다. 정사영을 빼면 수직인 벡터가 남으며, 이를 정규화하여 Q의 두 번째 열을 만듭니다. 정사영 계수와 두 번째 벡터의 길이로 상삼각 행렬 R을 완성합니다. QR 분해는 수치 선형대수의 핵심 도구입니다. 미지수보다 방정식이 많은 과잉 결정 시스템의 최소제곱 적합에 쓰이며, 고윳값을 구하는 알고리즘에도 등장합니다. 직교 변환은 길이를 보존하고 직접 연산보다 반올림 오차를 크게 증폭시키지 않는 경향이 있어 수치 계산에 유용합니다. 이 페이지는 각 단계를 쉽게 살펴볼 수 있도록 이차원에 집중하지만, 같은 열 직교화 개념을 더 큰 직사각 행렬에도 확장할 수 있습니다. 두 단위 벡터를 만들려면 입력 열이 선형 독립이어야 합니다. 첫 열이 영벡터이면 정규화할 수 없고, 두 번째 열이 첫 열의 스칼라배이면 정사영을 뺀 뒤 수직 방향이 남지 않습니다. 이런 행렬은 계수가 부족하여 여기서 사용하는 완전한 QR 형태를 갖지 않습니다. QR 분해는 부호가 다를 수도 있습니다. Q의 한 열과 R의 대응 행의 부호를 함께 바꾸어도 곱은 변하지 않습니다. 이 계산기는 R의 대각 원소에 음이 아닌 길이를 사용하여 일관되고 예측 가능한 비교 기준을 제공합니다.