畳み込み計算機

畳み込みは二つの数列を組み合わせ、一方のパターンが他方をどのように変化させ、フィルタリングし、重なり合うかを表します。有限離散数列では、一方の数列を他方に沿ってずらしたときの積の和が各出力サンプルになります。一つ目の長さが m、二つ目が n の場合、完全な線形畳み込みの長さは m + n - 1 です。この計算機は全体を計算し、最初の重なりから最後の重なりまで順に表示します。 畳み込みはデジタル信号処理の各所で使われます。線形時不変システムでは、サンプリングされた入力信号とシステムのインパルス応答の畳み込みが出力になります。音声イコライザー、平滑化フィルター、エコーモデル、画像カーネル、通信路などに応用されています。確率論では独立な確率変数の和の分布を求める際にも使い、多項式の乗算も同じ係数ごとの計算パターンを用います。 出力サンプルを求めるには、添字の和がそのサンプルの添字になる値同士を組にし、それぞれを掛けて合計します。両端付近では重なる値が少なく、中央では多くの値が寄与します。整数、小数、負数に対応しているため、特別な記法なしで多くの実用的な有限信号を扱えます。計算するのは線形畳み込みであり、巡回畳み込みではありません。巡回畳み込みは固定周期で添字を折り返すため、異なる結果になることがあります。 畳み込みには交換法則があるので、二つの入力を入れ替えても出力は変わりません。結合法則と分配法則も成り立ち、直列接続したフィルターや分解したシステムの解析に役立ちます。値が一のサンプルだけからなるインパルスは単位元となり、どの数列と畳み込んでも元の数列を返します。どちらかの入力を一定倍すると、すべての出力も同じ倍率になります。 表示結果は、授業の演習、簡単なフィルター確認、手計算の照合に使えるサンプル一覧です。非常に長い数列は高速フーリエ変換で処理することが多い一方、ここで入力するような短い数列には直接和を求める方法が明快で確実です。サンプルの順序を統一し、意味のある遅延を表すゼロは省略せず入力してください。