iの累乗計算機

虚数単位 i は、等式 i² = -1 によって定義されます。この定義は実数の体系を複素数へと広げ、整数乗にとても単純な規則性を生み出します。指数ゼロから始めると、値は 1、i、-1、-i の順になります。さらに i を掛けると 1 に戻るため、同じ四つの結果がいつまでも繰り返されます。本計算機は、長い掛け算をせずにこの周期の正しい位置を見つけます。 i の整数 n 乗を求めるには、n を四で割った余りを使います。余りがゼロなら 1、一なら i、二なら -1、三なら -i です。例えば、27 を四で割ると余りは三なので、i²⁷ は -i になります。四個ずつのまとまりは i⁴、つまり 1 となって積を変えないため、商は関係ありません。 負の指数も同じ周期に従います。逆数の法則により、i の -1 乗は 1 を i で割った値で、簡約すると -i です。数学的に正規化された剰余演算では、すべての負の整数がゼロから三の余りに対応します。そのため、-6 の余りは二となり、i の -6 乗は -1 になります。本計算機はこの正規化を自動で行い、一部のプログラミング言語で起こる負の剰余を避けます。 i の累乗は、複素数の式の簡約、多項式方程式の求解、電気回路の研究、波や回転の扱いに登場します。オイラーの公式は複素指数関数を正弦・余弦と結び付けます。また、i を掛けることは幾何学的には複素平面上で反時計回りに四分の一回転することに相当します。四回掛けると一回転するため、四段階の周期を直感的に理解できます。 この一意に定まる周期が使えるのは整数の指数だけです。分数乗や一般の複素数乗には根や対数が必要で、複数の分枝を持つ場合があるため、本計算機の対象外です。ゼロ、正の整数、負の整数を入力してください。表示される余りは結果が選ばれた理由を示し、試験で手計算できる簡単な方法にもなります。 大きな式を簡約するときは、まず各累乗を個別に簡約し、その後で通常の係数や同類項をまとめます。例えば i¹¹ と i¹⁴ の和は、-i と -1 の和になります。小さな指数なら四つの値の表で十分ですが、大きな指数や負の指数では剰余による簡約の方が速く、間違いも少なくなります。