極分解計算機

極分解は実行列Aを積QPに分解します。正則な正方行列では、Qは直交行列、Pは対称正定値行列です。直交行列は長さと角度を保つため、回転や反射を表します。正定値因子は回転を加えず、互いに直交する主方向に空間を伸縮します。これは、ゼロでない複素数を大きさと単位方向の積で表すことに対応します。 この計算機は正則な実数の二次正方行列を扱います。まずAの転置とAの積で対称なグラム行列を作り、その正定値平方根をPとします。二次の正定値行列の平方根はトレースと行列式から直接計算でき、反復近似は不要です。次にAとPの逆行列の積からQを求めます。表示は小数点以下六桁に丸めますが、内部ではJavaScriptの倍精度を保持します。 因子には結果の確認に便利な恒等式があります。Qの転置とQの積は、丸め誤差を除けば単位行列です。Pは自身の転置と等しく、固有値は正です。最後にQとPの積で元の行列Aを再構成できます。単位行列では両因子とも単位行列になります。四分の一回転と軸ごとに異なる拡大縮小を組み合わせた行列では、Qが回転を、Pが二つの伸縮率を表します。 極分解は力学、グラフィックス、数値解析、最適化、統計に登場します。連続体力学では変形を剛体回転と純粋な伸縮に分離します。コンピューターグラフィックスでは、拡大縮小やせん断を含む変換から回転を抽出するのに役立ちます。直交プロクラステス問題では極分解の因子で最も近い直交行列を求め、幾何学的構造の保持が重要な数値アルゴリズムでは極反復を使います。 特異行列にも極分解は存在し得ますが、直交因子が一意でない場合があり、追加の取り決めが必要です。この計算機はPの逆行列が存在して分解が明確になるよう、正則行列に限定しています。条件の悪い行列では伸縮の一方向がゼロに近いため、浮動小数点誤差が増幅されることがあります。学習や計算の補助として利用し、重要な数値計算は任意精度や大規模行列に対応したソフトウェアで確認してください。