QR分解計算機

QR分解は、行列AをQとRの積に分解する方法です。Qの列は正規直交しており、各列の長さは一で、異なる列同士は垂直です。Rは上三角行列なので、主対角線より下の成分はすべてゼロになります。フルランクの正方行列では、表示されたQとRを掛け合わせると、小数の丸めによるわずかな差を除き、元の行列を再現できます。この計算機は実数の2行2列行列を対象にしています。 計算には、Aの列に対する古典的なグラム・シュミット法を使います。まず第一列のユークリッド長を求めます。その列を長さで割るとQの最初の単位ベクトルが得られ、長さ自体はRの最初の対角成分になります。次に第二列を最初の単位ベクトルへ射影します。その射影を引くと垂直なベクトルが残り、これを正規化してQの第二列を作ります。射影係数と二番目のベクトルの長さで上三角行列Rが完成します。 QR分解は数値線形代数の中心的な手法です。未知数より方程式の数が多い過剰決定系の最小二乗近似を支え、固有値を求めるアルゴリズムにも使われます。直交変換は長さを保存し、直接的な操作ほど丸め誤差を増幅しにくいため、数値計算に適しています。このページでは各手順を確認しやすい二次元に絞っていますが、列の直交化という考え方は、より大きな長方形行列にも拡張できます。 二つの単位ベクトルを得るには、入力する列が線形独立である必要があります。第一列がゼロなら正規化できず、第二列が第一列の定数倍なら射影を引いた後に垂直方向が残りません。このような行列はランク落ちしており、ここで使う完全なQR形式を持ちません。また、QR分解には符号の違いがあり得ます。Qの一列とRの対応する行を同時に符号反転しても積は変わりません。この計算機ではRの対角成分を非負の長さとし、結果を比較する際に一貫した規約を用いています。