LU分解計算機

LU分解は正方行列 A を L と U の積で表します。L は下三角行列で、主対角線より上の要素はすべてゼロです。U は上三角行列で、主対角線より下の要素はすべてゼロです。ここで用いるドゥーリトル法では、L の対角要素はすべて一になります。表示された二つの因子を掛けると、通常の浮動小数点の丸め誤差を除き、元の入力行列が再現されます。 分解はガウス消去法に基づいています。ピボットの下の要素を消去するために使う各乗数を L に保存し、変形されていく行階段行列が U になります。この構成は、消去の処理内容を捨てずに記録する点で有用です。L と U が得られれば、係数行列が同じで右辺だけが異なる多数の連立方程式を、毎回最初から消去するより効率よく解けます。 A × x = b を解くには、まず前進代入で L × y = b を解き、次に後退代入で U × x = y を解きます。三角系では各段階の式に新しい未知数が一つしか現れないため、計算は単純です。LU因子は行列式にも使えます。L の対角成分が一なら、行列式は U の対角要素の積です。逆行列の計算や数値シミュレーションでも基本構造として利用されます。 この計算機は簡潔な行列記法に対応しています。各行の値をカンマまたは空白で区切り、行と行の間にセミコロンを入れてください。この形式のLU分解には正方行列が必要なので、各行の要素数は行数と同じにします。負数と小数も入力できます。丸めは表示時のみ行い、消去計算には JavaScript の倍精度演算を使用します。 実装はピボット選択なしのドゥーリトル分解を使うため、消去中に現れる各ピボットはゼロ以外である必要があります。正則な行列でも最初のピボットがゼロとなり、分解前に行の置換が必要な場合があります。完全な数値計算ライブラリでは、この操作を置換行列 P で表し、P × A = L × U とします。ピボットエラーが出た場合は、適切に行を並べ替えて入力するか、ピボット選択付きのソルバーを使ってください。条件の良い授業用の例や、対角ピボットが利用できる行列では、分解結果を明確かつすぐに確認できます。