2 つのベクトル間の角度計算機 - 2D および 3D

2 つのベクトル間の角度は、線形代数と幾何学の基本的な量であり、共通の原点で尾部から尾部に配置された 2 つの方向量の間の角度分離を表します。古典的なユークリッド幾何学の線間の角度とは異なり、ベクトル間の角度は常に 2 つの可能な角度のうち小さい方であり、0° から 180° (または 0 から π ラジアン) の範囲に制限されます。この規則により、ゼロ以外のベクトルのペアに対して一意で明確な結果が保証されます。 計算は、線形代数で最も重要な演算の 1 つであるドット積に基づいて行われます。 2 つのベクトル A と B の場合、ドット積は、対応するコンポーネントの積の合計として代数的に定義されます。2 次元では A · B = Ax·Bx + Ay·By、3 次元では A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz です。内積には幾何学的な解釈もあります: A · B = |A| × |B| × cos(θ)。ここで |A| と |B| はベクトルのユークリッドの大きさ (長さ)、θ はそれらの間の角度です。これら 2 つの定義を組み合わせて θ を解くと、基本的な式 θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|)) が得られます。 この式にはいくつかのエレガントな特性があります。ドット積がゼロの場合、cos(θ) = 0、つまり θ = 90° となり、ベクトルは垂直 (直交) になります。ドット積が大きさの積と等しい場合は、cos(θ) = 1 と θ = 0° となり、ベクトルが同じ方向 (平行) を向いていることを意味します。ドット積が負の大きさの積と等しい場合、cos(θ) = −1 および θ = 180° となり、ベクトルが反対方向 (逆平行) を指すことになります。この式は、成分の合計を拡張するだけで、自然に n 次元空間に一般化されます。 ベクトル間の角度は、物理学と工学を通じて発生します。古典力学では、変位 d に対して力 F によって行われる仕事は W = F · d = |F| × |d| × cos(θ) です。ここで、θ は力ベクトルと変位ベクトルの間の角度です。 θ = 0° の場合、力は動きと完全に一致し、最大限の働きをします。 θ = 90° の場合、力は動きに対して垂直であり、仕事はゼロです。コンピューター グラフィックスでは、表面照明は表面の法線と入射光の方向との間の角度を使用して、ランバートの余弦則によって表面がどの程度明るく照らされるかを計算します。機械学習では、2 つの特徴ベクトル間のコサイン類似度はそれらの間の角度に直接関係しており、大きさに関係なくそれらの方向がどの程度類似しているかを測定します。 数値的には、関数 arccos は、引数が 1 or −1 (ほぼ平行または逆平行ベクトルに相当) に非常に近い場合、精度を失う可能性があります。高精度ソフトウェアでは、この計算は、コサイン引数を arccos に渡す前に有効な範囲 [−1、1] にクランプすることで処理されます。これはこの計算機が自動的に行います。符号付きの角度が必要な (時計回りと反時計回りを区別する) 2D 問題の場合、内積アプローチよりも外積を使用する atan2 関数が推奨されますが、この計算機は数学的定義と一致する符号なし角度を報告します。