Calculateur du paradoxe de Parrondo

Le paradoxe de Parrondo décrit un résultat probabiliste contre-intuitif : deux jeux qui font chacun perdre de l'argent lorsqu'ils sont joués seuls peuvent donner une espérance gagnante lorsqu'ils sont alternés ou mélangés au hasard. L'effet ne crée pas de probabilité à partir de rien. Il modifie la fréquence à laquelle le capital du joueur visite différents états. Le jeu B utilise une pièce lorsque le capital est divisible par la longueur du cycle, et une autre sinon ; ses chances futures dépendent donc du reste actuel. Le jeu A a une probabilité de gain constante. Sa variation espérée par partie vaut simplement deux fois cette probabilité moins un, car un gain ajoute une unité et une perte en retire une. Le jeu B demande plus d'attention. Le capital passe d'un état de reste à un autre après chaque partie, et la fréquence de ces états à long terme n'est généralement pas uniforme. Ce calculateur construit le processus de transition pour le cycle choisi, procède par itérations jusqu'à une distribution stationnaire et pondère l'espérance de gain ou de perte de chaque état par sa probabilité stationnaire. Pour le jeu mixte, le calculateur combine d'abord la probabilité de A avec celle de B correspondant à chaque état de reste. La probabilité de choisir A détermine ce mélange. Il recalcule ensuite la distribution stationnaire, car le mélange change aussi bien l'occupation des états que les chances immédiates. Cette distinction est essentielle : faire la moyenne des rendements isolés de A et B ferait manquer le mécanisme à l'origine du paradoxe. L'exemple classique utilise un jeu A légèrement défavorable, puis dans B une pièce très défavorable dans le mauvais état et une pièce favorable dans le bon. Les deux jeux isolés ont une dérive négative à long terme, mais un mélange aléatoire à parts égales peut avoir une dérive positive. Les résultats sont des espérances, pas des garanties. Une suite finie reste aléatoire et peut gagner ou perdre du capital même si sa dérive théorique est de signe opposé. Utilisez cet outil pour explorer des modèles probabilistes, enseigner les chaînes de Markov ou vérifier des paramètres publiés de Parrondo sans simulation bruitée.