Calculateur du paradoxe de Bertrand

Cette version du paradoxe de Bertrand est le célèbre problème de probabilité conditionnelle des trois boîtes, aussi appelé paradoxe des boîtes de Bertrand. Trois boîtes visuellement identiques contiennent des paires de pièces différentes : deux en or dans la première, une en or et une en argent dans la deuxième, et deux en argent dans la troisième. On choisit une boîte au hasard, puis on en tire une pièce au hasard. Après avoir constaté qu’elle est en or, on cherche la probabilité que la pièce restante soit également en or. Il est tentant d’écarter la boîte argent-argent et de juger les deux autres équiprobables, ce qui donne un demi. Ce raisonnement néglige la vraisemblance de l’observation. La boîte or-or peut révéler de l’or de deux façons distinctes, contre une seule pour la boîte or-argent. Sachant qu’on a vu de l’or, trois positions de pièces donnant de l’or sont équiprobables. Deux appartiennent à la boîte or-or : la probabilité exacte d’une autre pièce en or est donc 2/3, soit environ 66.67%. Le calculateur applique cette probabilité théorique exacte au nombre choisi d’essais conditionnels. Multiplier ce nombre par 2/3 donne le nombre attendu d’essais où la pièce cachée est en or. Une espérance peut être fractionnaire, mais un effectif observé doit être entier : l’affichage est donc arrondi à l’entier le plus proche. Aucun échantillon aléatoire n’est généré, et les calculs répétés restent déterministes. Une véritable simulation de Monte-Carlo fluctuerait autour de cette espérance et se rapprocherait généralement d’une proportion de deux tiers lorsque le nombre d’essais augmente. Ce paradoxe enseigne un principe général des probabilités conditionnelles : les explications possibles doivent être pondérées selon leur capacité à produire l’observation. Ce principe fonde le théorème de Bayes et intervient dans les tests diagnostiques, le dépistage, l’analyse de fiabilité et la classification. Les hypothèses d’échantillonnage doivent aussi être claires. Chaque boîte doit avoir la même probabilité initiale d’être choisie, et chaque pièce de la boîte retenue la même probabilité d’être tirée. D’autres pondérations changeraient la réponse. Essayez plusieurs nombres d’essais pour distinguer la probabilité théorique fixe de l’effectif attendu variable, et gardez à l’esprit que le hasard peut écarter les résultats réels de l’espérance.