Calculateur du paradoxe des boîtes de Bertrand

Le paradoxe des boîtes de Bertrand est une énigme classique de probabilité conditionnelle. Dans sa forme habituelle, trois boîtes contiennent chacune deux pièces : deux pièces d'or, une d'or et une d'argent, ou deux d'argent. On choisit une boîte uniformément, puis une pièce uniformément, et la pièce observée est en or. Quelle est la probabilité que la pièce non vue dans cette boîte soit aussi en or ? Une intuition rapide mais erronée répond une chance sur deux, car seules les boîtes or-or et or-argent restent possibles. Le détail oublié est que ces deux boîtes ne sont plus équiprobables après l'observation d'or. La boîte or-or offre deux issues pouvant produire cette observation, contre une seule pour la boîte or-argent. Parmi les trois issues équiprobables donnant de l'or, deux appartiennent à la boîte or-or. La probabilité conditionnelle que l'autre pièce soit en or vaut donc 2/3, soit environ 66.67%. L'observation modifie la probabilité relative des boîtes : c'est la leçon centrale du paradoxe. Ce calculateur généralise l'énigme en autorisant plusieurs boîtes de chaque type. Avec G boîtes or-or et M boîtes or-argent, le premier groupe fournit 2G issues d'or et le groupe mixte M issues d'or. Sachant que l'on a observé de l'or, la probabilité d'avoir choisi une boîte or-or est 2G divisé par 2G + M. Les boîtes argent-argent n'apparaissent pas dans cette formule, car elles ne peuvent pas produire l'observation d'or, même si elles font partie de l'expérience avant toute observation. L'énigme illustre simplement le théorème de Bayes, les effets de sélection et l'importance de compter les issues à la lumière des éléments observés. Elle rappelle l'interprétation des tests médicaux, l'échantillonnage de contrôle qualité et les situations où une observation est plus probable sous une cause cachée que sous une autre. La réponse dépend des hypothèses de tirage : toutes les boîtes doivent être équiprobables, tout comme les deux pièces d'une boîte choisie. Si ces probabilités diffèrent, leurs poids doivent être inclus explicitement. Modifiez les effectifs pour voir comment la duplication des types de boîte change la probabilité a posteriori tout en conservant le même raisonnement conditionnel.