Calculateur du paradoxe des anniversaires

Le paradoxe des anniversaires demande quelle est la probabilité qu'au moins deux personnes d'un groupe aient leur anniversaire le même jour. Le résultat surprend, car on compare souvent une personne choisie à toutes les autres. Or, la question porte sur toutes les paires possibles. Un groupe de 23 personnes comporte 253 paires : les occasions de coïncidence sont donc nombreuses, même si le calendrier offre 365 anniversaires possibles. Selon le modèle standard, un groupe de 23 présente déjà une probabilité légèrement supérieure à 50 pour cent d'avoir un anniversaire commun. Le calcul le plus simple part de l'événement complémentaire : tous les anniversaires sont différents. La première personne peut être née n'importe quel jour. La deuxième doit éviter cette date, ce qui donne un facteur de 364/365. La troisième doit éviter deux dates déjà prises, soit un facteur de 363/365, et la multiplication se poursuit pour tout le groupe. Soustraire ce produit de un donne la probabilité d'au moins une coïncidence. En notation mathématique, P(match) = 1 - (365/365)(364/365)...((365-n+1)/365), où n désigne la taille du groupe. Ce calculateur utilise le modèle simplifié habituel. Les 365 dates du calendrier sont supposées équiprobables, le jour bissextile est ignoré et les naissances sont considérées comme indépendantes. Les données réelles ne sont pas parfaitement uniformes, car les saisons, les jours fériés, les accouchements programmés et les tendances démographiques influencent les naissances quotidiennes. Ces différences rendent généralement les coïncidences un peu plus probables, mais le modèle standard convient aux cours de probabilités, aux questions d'entretien, aux démonstrations en classe et aux estimations de planification. La probabilité augmente vite. Avec 10 personnes, elle est d'environ 11.7 pour cent ; avec 23, d'environ 50.7 pour cent ; avec 30, d'environ 70.6 pour cent ; et avec 50, elle dépasse 97 pour cent. Il faut 57 personnes pour dépasser 99 pour cent. Cette progression rapide illustre un principe de collision plus général, utilisé dans le hachage, la cryptographie, les identifiants de bases de données et le contrôle qualité : lorsque de nombreux éléments sont répartis entre un nombre limité de catégories, les doublons deviennent probables bien plus tôt que l'intuition ne le suggère. Interprétez le résultat comme une probabilité, et non comme une prédiction indiquant qui aura le même anniversaire ou quelle date se répétera. Une probabilité de 50.7 pour cent signifie que, parmi de nombreux groupes comparables de 23 personnes, un peu plus de la moitié auraient au moins un anniversaire commun. Un groupe précis peut ne présenter aucune coïncidence, une seule paire ou plusieurs dates répétées. Le calculateur répond exactement à la question d'au moins une coïncidence, dans le cadre des hypothèses ci-dessus.