Calculateur de combinaison linéaire

Multipliez deux vecteurs par des scalaires, puis additionnez leurs composantes correspondantes.

Calculer une combinaison linéaire
Saisissez des vecteurs de même dimension, avec des valeurs séparées par des virgules.

À propos des combinaisons linéaires

Une combinaison linéaire s'obtient en multipliant des vecteurs par des nombres scalaires, puis en additionnant les vecteurs obtenus. Pour deux vecteurs v1 et v2 et des scalaires a et b, l'expression est av1 + bv2. Ce calculateur effectue l'opération composante par composante. Si v1 vaut (x1, y1, z1) et v2 vaut (x2, y2, z2), le résultat est (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). La même règle s'applique à toute dimension finie, à condition que les deux vecteurs aient le même nombre de composantes. Les scalaires déterminent la taille et le sens de chaque contribution. Un scalaire supérieur à un allonge le vecteur, une valeur entre zéro et un le raccourcit, et un scalaire négatif inverse son sens. Un scalaire nul supprime entièrement la contribution du vecteur. Comme l'addition associe les positions correspondantes, un vecteur à deux dimensions ne peut pas être directement combiné à un vecteur à trois dimensions. Le calculateur détecte les dimensions incompatibles et demande une saisie adaptée au lieu d'ignorer une composante. Les combinaisons linéaires sont au cœur de l'algèbre linéaire. L'espace engendré par une famille de vecteurs est l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires possibles. Un vecteur appartient à cet espace lorsqu'un choix de coefficients scalaires permet de le reproduire. Les vecteurs d'une base sont particulièrement utiles : chaque vecteur de leur espace possède une expression unique en combinaison linéaire lorsque la base est linéairement indépendante. Repères, produit matriciel, systèmes d'équations, mélange de signaux, infographie et modèles de données utilisent tous cette idée. Pour vérifier un résultat, multipliez chaque composante du premier vecteur par le premier scalaire, faites de même pour le second, puis additionnez les produits correspondants. Conservez l'ordre des composantes tout au long du calcul. Les valeurs décimales et négatives sont admises, et le résultat affiché n'est arrondi que pour la lisibilité. Pour combiner plus de deux vecteurs, calculez d'abord les deux premiers, puis utilisez leur résultat comme entrée d'un nouveau calcul avec le vecteur suivant. Cette répétition respecte l'associativité de l'addition vectorielle et donne le même vecteur final.

Exemples

Chaque ligne applique la multiplication par un scalaire avant l'addition des vecteurs.

ExpressionRésultatInterprétation
2(1, 2, 3) - (4, 5, 6)(-2, -1, 0)Soustraire le second vecteur au double du premier.
3(2, -1) + 0.5(4, 6)(8, 0)Les deux sommes de composantes sont calculées séparément.
-2(1, 0) + 4(0, 1)(-2, 4)Les vecteurs de la base canonique fixent chaque coordonnée.

Comment utiliser le calculateur

  1. Saisissez le multiplicateur du premier vecteur.
  2. Saisissez le premier vecteur en séparant les composantes par des virgules.
  3. Saisissez le second scalaire et un second vecteur de même dimension.
  4. Sélectionnez Calculer la combinaison pour additionner les composantes multipliées.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un scalaire ?

Un scalaire est un nombre ordinaire qui multiplie chaque composante d'un vecteur. Il modifie sa norme et peut inverser son sens.

Les vecteurs doivent-ils avoir la même dimension ?

Oui, l'addition vectorielle associe les composantes correspondantes. Des vecteurs ayant des nombres de composantes différents n'ont pas de somme usuelle composante par composante.

Les coefficients peuvent-ils être négatifs ou décimaux ?

Oui, tout nombre réel fini peut servir de scalaire. Les valeurs négatives inversent le sens, tandis que les décimales modifient proportionnellement la taille.

Quel est l'effet d'un coefficient nul ?

Multiplier un vecteur par zéro donne le vecteur nul. Ce vecteur ne contribue donc pas à la combinaison finale.

Quel est le lien avec l'espace engendré ?

L'espace engendré contient tous les vecteurs obtenus en faisant varier les coefficients. Chaque résultat de ce calculateur appartient à l'espace engendré par les deux vecteurs saisis.