Calculateur de division synthétique

Divisez un polynôme par une expression linéaire et obtenez aussitôt les coefficients du quotient et le reste.

Division synthétique de polynômes
Saisissez les coefficients par puissances décroissantes, avec un zéro pour chaque puissance absente.

Séparez les coefficients par des virgules et ajoutez un zéro pour chaque puissance absente.

Pour un diviseur écrit x moins c, saisissez c avec son signe.

À propos de la division synthétique

La division synthétique est une méthode compacte pour diviser un polynôme par une expression linéaire de coefficient dominant égal à un. Au lieu de réécrire variables et puissances au fil d'une division posée, elle ne manipule que les coefficients ordonnés. Pour un diviseur écrit x moins c, le nombre c intervient dans chaque multiplication et addition. La dernière ligne contient les coefficients du quotient, puis le reste. On commence par abaisser le coefficient dominant sans le modifier. On le multiplie par c, puis on ajoute le produit au coefficient suivant. On multiplie le nouveau total par c, on l'ajoute au coefficient suivant et on poursuit jusqu'au dernier coefficient. Tous les nombres sauf le dernier décrivent un polynôme dont le degré est inférieur d'une unité à celui d'origine. Le dernier nombre est le reste. Ce calculateur applique ces étapes de type Horner et affiche les résultats arrondis à six décimales. L'ordre des coefficients est essentiel. Saisissez d'abord celui de la puissance la plus élevée, puis descendez d'une puissance à la fois jusqu'au terme constant. Une puissance absente doit être représentée par zéro. Ainsi, un polynôme cubique sans terme carré nécessite tout de même quatre entrées, avec zéro en deuxième position. Omettre ce zéro décale les coefficients suivants vers de mauvaises puissances et change le polynôme divisé. La division synthétique est directement liée au théorème du reste. Lorsqu'un polynôme est divisé par x moins c, le reste est égal à sa valeur en c. Un reste nul signifie donc que c est une racine et que x moins c est un facteur exact. La méthode sert à tester des racines rationnelles possibles, factoriser des expressions de degré élevé, simplifier des fonctions rationnelles et évaluer efficacement des polynômes. Elle est souvent enseignée avec le théorème du facteur et la division posée de polynômes. Le calculateur accepte les coefficients réels positifs, négatifs, nuls et décimaux. Il attend un diviseur linéaire unitaire représenté par c, et non une expression complète. Si le diviseur est x plus 2, réécrivez-le comme x moins négatif 2 et saisissez négatif 2. Un diviseur dont le coefficient dominant diffère de un doit d'abord être factorisé ou traité par division posée. La sortie fournit des coefficients plutôt qu'une expression symbolique mise en forme, ce qui évite les ambiguïtés sur les variables et facilite la réutilisation du résultat.

Exemples de division synthétique

Coefficients et valeur du diviseurQuotient et resteInterprétation
1, -6, 11, -6 avec c égal à 1Quotient 1, -5, 6 ; reste 0Le diviseur est un facteur exact.
2, 3, -5 avec c égal à 2Quotient 2, 7 ; reste 9Évaluer le polynôme en 2 donne également 9.
1, 0, -4 avec c égal à 2Quotient 1, 2 ; reste 0Le zéro préserve la place du terme linéaire absent.
1, 5, 6 avec c égal à négatif 2Quotient 1, 3 ; reste 0Saisir négatif 2 représente une division par x plus 2.

Comment utiliser la division synthétique

  1. Saisissez les coefficients de la puissance la plus élevée jusqu'au terme constant.
  2. Insérez un coefficient nul pour chaque puissance absente.
  3. Saisissez c dans le diviseur x moins c.
  4. Sélectionnez Diviser le polynôme et consultez les coefficients du quotient et le reste.

Questions fréquentes sur la division synthétique

Quand peut-on utiliser la division synthétique ?

La méthode standard s'applique à un diviseur linéaire unitaire écrit x moins c. Les diviseurs plus généraux nécessitent une méthode étendue ou une division posée.

Pourquoi faut-il saisir les coefficients nuls ?

Chaque position correspond à une puissance précise, en ordre décroissant. Le zéro conserve la place d'une puissance absente afin que les termes suivants restent correctement alignés.

Que signifie un reste nul ?

La division est exacte et le diviseur linéaire choisi est un facteur. De manière équivalente, c est une racine du polynôme initial.

Comment saisir un diviseur de la forme x plus un nombre ?

Réécrivez l'addition comme la soustraction d'un nombre négatif. Pour x plus 2, saisissez négatif 2 comme valeur c.

Quel est le lien avec la méthode de Horner ?

Les deux méthodes multiplient à répétition par une même valeur et ajoutent le coefficient suivant. Horner évalue le polynôme, tandis que la division synthétique conserve les valeurs intermédiaires comme coefficients du quotient.