Calculateur d'indépendance linéaire

Une famille de vecteurs est linéairement indépendante lorsque les seuls coefficients permettant à leur combinaison linéaire de donner le vecteur nul sont tous nuls. Pour trois vecteurs v1, v2 et v3, l'indépendance signifie que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 impose c1 = c2 = c3 = 0. Si des coefficients non tous nuls donnent aussi le vecteur nul, la famille est linéairement dépendante. En pratique, un vecteur dépendant n'apporte aucune nouvelle direction puisqu'il peut s'écrire comme une combinaison des autres. Ce calculateur place les trois vecteurs saisis dans une matrice et utilise l'élimination de Gauss pour en déterminer le rang. Les opérations élémentaires sur les lignes révèlent le nombre de pivots sans modifier les relations linéaires entre les vecteurs. Lorsque le rang égale le nombre de vecteurs, chacun apporte un nouveau pivot et la famille est indépendante. Si le rang est inférieur à trois, au moins un vecteur est redondant et la famille est dépendante. Les vecteurs doivent avoir la même dimension afin que leurs composantes occupent des positions de coordonnées cohérentes. La dimension impose une limite immédiate. Trois vecteurs d'un espace à deux dimensions sont nécessairement dépendants, car la matrice correspondante a un rang au plus égal à deux. Dans un espace de dimension trois ou plus, trois vecteurs peuvent être indépendants, sans que cela soit garanti. Les vecteurs de la base canonique (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) sont indépendants. En revanche, (1, 2, 3) et (2, 4, 6) suivent la même droite ; toute famille qui les contient présente déjà une relation directe de proportionnalité. L'indépendance linéaire détermine si les coordonnées sont uniques, si une matrice peut être inversible et si des équations contiennent des informations redondantes. Elle est fondamentale pour résoudre des systèmes, construire des bases, analyser des transformations, ajuster des modèles et séparer des signaux. Pour interpréter le résultat, comparez le rang affiché au nombre de vecteurs saisis. Un rang plein de trois confirme l'indépendance ; tout rang inférieur confirme la dépendance. Les décimales sont acceptées, mais les valeurs extrêmement proches de zéro sont traitées comme des zéros numériques afin d'éviter les faux pivots dus aux arrondis en virgule flottante.