Calculateur de la méthode de substitution

Résolvez un système linéaire à deux inconnues et identifiez une solution unique, une incompatibilité ou des équations dépendantes.

Résoudre deux équations linéaires
Saisissez les coefficients de a1x + b1y = c1 et a2x + b2y = c2.

À propos de la résolution par substitution

La méthode de substitution résout des équations simultanées en exprimant une inconnue en fonction de l'autre, puis en insérant cette expression dans la seconde équation. Pour un système linéaire à deux inconnues, les deux équations doivent être vraies au même point. Une solution unique est un couple ordonné dont les valeurs de x et y satisfont chaque équation. Sur un graphique, ce couple est l'intersection des deux droites. Écrivez les équations sous la forme a1x + b1y = c1 et a2x + b2y = c2. À la main, choisissez une inconnue dont le coefficient non nul est commode. Par exemple, isolez x dans la première équation : x = (c1 - b1y) / a1. Remplacez x dans la seconde par cette expression, résolvez l'équation à une inconnue pour y, puis remplacez y dans une équation initiale pour obtenir x. Vérifiez enfin les deux valeurs dans les deux équations. Ce calculateur emploie des formules de déterminants mathématiquement équivalentes afin de ne pas dépendre du coefficient le plus facile à isoler. Le déterminant vaut a1b2 - a2b1. S'il est non nul, les droites ont des directions différentes et exactement une solution. Les coordonnées sont x = (c1b2 - c2b1) divisé par le déterminant et y = (a1c2 - a2c1) divisé par le déterminant. Ces valeurs sont identiques à celles d'une substitution correctement effectuée. Un déterminant nul nécessite une interprétation particulière. Si une équation entière est un multiple de l'autre, elles décrivent la même droite et chaque point de celle-ci est une solution. Le système est dépendant et admet une infinité de solutions. Si les coefficients des inconnues sont proportionnels mais pas les constantes, les droites sont parallèles et ne se rencontrent jamais. Ce système incompatible n'a pas de solution. Le panneau de résultats distingue ces cas plutôt que de tenter une division par zéro. Les systèmes linéaires modélisent prix et quantités, mélanges, distances et vitesses, budgets, géométrie analytique et bien d'autres relations. Conservez les signes négatifs avec leurs coefficients et saisissez zéro lorsqu'une inconnue est absente. Les coefficients décimaux sont acceptés, mais des fractions exactes peuvent produire des décimales périodiques. L'arrondi concerne uniquement l'affichage ; le calcul utilise toute la précision numérique de JavaScript. Pour un résultat important, vérifiez toujours x et y dans les équations initiales.

Exemples de substitution

Chaque système illustre le lien entre les équations et leur intersection.

SystèmeSolutionVérification
x + y = 5; 2x - y = 1(2, 3)Les deux équations sont satisfaites
2x + 3y = 7; x - y = 1(2, 1)Remplacer x par y + 1
x + y = 4; x - y = 0(2, 2)Les droites se coupent en un point

Comment utiliser le solveur par substitution

  1. Mettez les deux équations sous la forme ax + by = c.
  2. Saisissez les coefficients de x et y ainsi que la constante de la première équation.
  3. Saisissez les trois valeurs correspondantes de la seconde équation.
  4. Sélectionnez Résoudre par substitution et lisez le type de solution et les coordonnées.
  5. Vérifiez les coordonnées en les remplaçant dans les deux équations initiales.

Questions fréquentes sur la substitution

Quand la substitution est-elle la méthode la plus simple ?

Elle est particulièrement pratique lorsqu'une inconnue a un coefficient de 1 ou -1. Elle convient aussi si une équation est déjà résolue pour une inconnue.

Que signifie l'absence de solution ?

Les équations représentent deux droites parallèles distinctes. Les coefficients des inconnues sont proportionnels, mais les constantes sont incompatibles.

Que signifie une infinité de solutions ?

Les deux équations décrivent la même droite, même si l'une semble être un multiple de l'autre. Chaque point de cette droite satisfait les deux équations.

Un coefficient peut-il être nul ?

Oui, zéro indique que l'inconnue est absente de l'équation. Le système peut conserver une solution unique si les deux équations déterminent ensemble les deux inconnues.

Comment vérifier la réponse ?

Remplacez x et y dans chaque équation initiale par les valeurs affichées. Le membre de gauche doit être égal à la constante indiquée.