Calculateur d'angle entre deux vecteurs - 2D & 3D

L'angle entre deux vecteurs est une grandeur fondamentale en algèbre linéaire et en géométrie qui exprime la séparation angulaire entre deux grandeurs directionnelles placées queue à queue à une origine commune. Contrairement aux angles entre les lignes de la géométrie euclidienne classique, l'angle entre les vecteurs est toujours le plus petit des deux angles possibles, limité à la plage allant de 0° à 180° (ou 0 à π radians). Cette convention garantit un résultat unique et sans ambiguïté pour toute paire de vecteurs non nuls. Le calcul repose sur le produit scalaire, l’une des opérations les plus importantes de l’algèbre linéaire. Pour deux vecteurs A et B, le produit scalaire est défini algébriquement comme la somme des produits de leurs composantes correspondantes : A · B = Ax·Bx + Ay·By en deux dimensions, ou A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz en trois dimensions. Le produit scalaire a également une interprétation géométrique : A · B = |A| × |B| × cos(θ), où |A| et |B| sont les grandeurs euclidiennes (longueurs) des vecteurs et θ est l'angle entre eux. La combinaison de ces deux définitions et la résolution de θ donnent la formule fondamentale : θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|)). Cette formule possède plusieurs propriétés élégantes. Si le produit scalaire est nul, alors cos(θ) = 0, ce qui signifie θ = 90°, et les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux). Si le produit scalaire est égal au produit des grandeurs, alors cos(θ) = 1 et θ = 0°, ce qui signifie que les vecteurs pointent dans la même direction (parallèle). Si le produit scalaire est égal au produit négatif des grandeurs, alors cos(θ) = −1 et θ = 180°, ce qui signifie que les vecteurs pointent dans des directions opposées (antiparallèles). La formule se généralise naturellement aux espaces à n dimensions simplement en étendant les sommes des composants. Les angles entre les vecteurs apparaissent tout au long de la physique et de l'ingénierie. En mécanique classique, le travail effectué par une force F sur un déplacement d est W = F · d = |F| × |d| × cos(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs force et déplacement. Lorsque θ = 0°, la force est entièrement alignée avec le mouvement et effectue un travail maximal ; lorsque θ = 90°, la force est perpendiculaire au mouvement et ne fait aucun travail. En infographie, l'éclairage de surface utilise l'angle entre la normale à la surface et la direction de la lumière entrante pour calculer la luminosité d'une surface via la loi du cosinus de Lambert. Dans l'apprentissage automatique, la similarité cosinusoïdale entre deux vecteurs caractéristiques est directement liée à l'angle qui les sépare et mesure la similitude de leurs directions, quelle que soit leur ampleur. Numériquement, la fonction arccos peut perdre en précision lorsque son argument est très proche de 1 or −1 (correspondant à des vecteurs quasi parallèles ou antiparallèles). Dans les logiciels de haute précision, cela est géré en limitant l'argument cosinus à la plage valide [−1, 1] avant de le transmettre à arccos, ce que cette calculatrice fait automatiquement. Pour les problèmes 2D où un angle signé est nécessaire (en distinguant le sens des aiguilles d'une montre du sens inverse des aiguilles d'une montre), la fonction atan2 avec le produit vectoriel est préférée à l'approche du produit scalaire, bien que cette calculatrice rapporte l'angle non signé conformément à la définition mathématique.