Calculadora de la paradoja del infinito de Galileo

La paradoja de Galileo parte de dos observaciones que parecen incompatibles. Los cuadrados perfectos son solo algunos de los enteros positivos: 1, 4, 9, 16, etc. La mayoría de los naturales no son cuadrados y, en muestras finitas, estos parecen cada vez más escasos. Sin embargo, cada natural positivo n se empareja con un único cuadrado n al cuadrado, y cada cuadrado positivo tiene una única raíz cuadrada positiva. Esta correspondencia uno a uno sugiere que el conjunto de cuadrados y el de todos los naturales tienen el mismo tamaño infinito. La calculadora muestra el aspecto finito. Entre los naturales desde 1 hasta un límite N hay floor(sqrt(N)) cuadrados perfectos. Hasta 100 hay 10 cuadrados, que representan el 10% de la muestra. Hasta 10,000 hay 100, solo el 1%. Al crecer N, la proporción floor(sqrt(N))/N se aproxima a cero. En términos de densidad natural, los cuadrados perfectos tienen densidad cero entre los naturales. El aspecto infinito usa emparejamientos, no proporciones. Se empareja 1 con 1, 2 con 4, 3 con 9 y, en general, n con n al cuadrado. No se omite ningún natural en la entrada ni se repite u omite ningún cuadrado perfecto en la salida. La teoría moderna de conjuntos llama biyección a esta regla. Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad cuando existe una biyección entre ellos, incluso si uno es subconjunto propio del otro. Ambos son infinitos numerables. No hay contradicción al reconocer que la proporción finita y la cardinalidad infinita son medidas distintas. La proporción pregunta con qué densidad aparece una colección dentro de otra al aumentar el límite. La cardinalidad pregunta si sus elementos pueden emparejarse uno a uno. En conjuntos finitos, estas ideas coinciden con la intuición: un subconjunto propio siempre tiene menos elementos. Los conjuntos infinitos se comportan de otra manera porque pueden emparejarse por completo con subconjuntos propios de sí mismos. Galileo analizó este problema antes de que existiera una teoría rigurosa de los cardinales infinitos. Más tarde, Georg Cantor formalizó la correspondencia uno a uno como método para comparar conjuntos infinitos. La paradoja sigue siendo una buena introducción al infinito numerable, los límites, la densidad y las biyecciones. Prueba límites cada vez mayores para ver cómo disminuye el porcentaje finito y recuerda que la aplicación de n a n al cuadrado nunca se agota por ninguno de los lados. La herramienta no calcula el infinito: ilustra cómo las tendencias finitas y los emparejamientos infinitos responden a dos preguntas matemáticas distintas.