Calculadora de la paradoja del hotel de Hilbert

El hotel de Hilbert es un experimento mental presentado por el matemático David Hilbert para ilustrar el comportamiento inusual de los conjuntos infinitos numerables. Imagina un hotel con habitaciones numeradas 1, 2, 3 y así sucesivamente sin fin. Todas están ocupadas, por lo que el gerente de un hotel finito pondría un cartel de completo. Sin embargo, en el hotel infinito todavía puede crear espacio trasladando a los huéspedes según una regla que asigne a cada uno una habitación distinta. Cuando llega un nuevo huésped, el huésped 1 pasa a la habitación 2, el huésped 2 a la 3 y, en general, el huésped n a la habitación n más 1. Todos conservan una habitación y la 1 queda libre. Para un grupo finito de k nuevos huéspedes, el huésped actual n puede pasar a la habitación n más k, dejando libres las primeras k habitaciones. Esta calculadora usa el número introducido tanto como tamaño del grupo finito como número del huésped seguido; por eso, el destino mostrado es el doble de ese número. El escenario del autobús infinito es aún más sorprendente. Al mover a cada huésped de la habitación n a la 2n, todos los huéspedes actuales quedan en habitaciones pares. Las infinitas habitaciones impares siguen disponibles. El pasajero n del autobús puede ocupar la habitación 2n menos 1. Así se crea una asignación uno a uno para cada huésped anterior y cada nuevo pasajero, aunque ambos grupos sean infinitos y el hotel ya estuviera lleno. La paradoja no afirma que un hotel real pueda contener infinitas personas. Demuestra que la cardinalidad infinita no obedece todas las intuiciones aprendidas al contar cantidades finitas. Los números naturales pueden ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio, como los pares, de modo que ambos tienen el mismo tamaño infinito numerable. No hace falta un último huésped ni una habitación máxima, porque la reasignación es una función matemática, no una secuencia de mudanzas que deba completarse una por una. Usa el simulador para examinar asignaciones concretas en vez de intentar enumerar todo el proceso infinito. Cualquier índice entero positivo sigue la misma regla. Los ejemplos relacionan las fórmulas con huéspedes concretos y la explicación muestra por qué nadie comparte una habitación asignada y por qué cada habitación designada tiene exactamente un ocupante.