Calculadora de valores y vectores propios

Un valor propio y un vector propio describen una dirección que una transformación lineal mantiene sobre la misma recta. Cuando una matriz cuadrada multiplica un vector propio, el resultado queda en la misma línea que el vector original. El valor propio es el factor de escala aplicado en esa dirección. Un valor positivo conserva el sentido, uno negativo lo invierte y uno nulo lleva esa dirección al vector cero. Estas ideas permiten entender transformaciones matriciales complejas mediante unas pocas direcciones y factores de escala importantes. Para una matriz de 2 por 2, la calculadora forma el polinomio característico a partir de la traza y el determinante. Resolver esa ecuación cuadrática produce hasta dos valores propios reales. Para cada valor, resuelve el sistema homogéneo que se obtiene al restarlo de la diagonal. El vector mostrado se normaliza para que su longitud euclídea sea uno. Multiplicar un vector propio por cualquier constante no nula sigue dando un vector válido, por lo que un libro o programa puede mostrar otro equivalente con distintos signos o magnitudes. Los valores propios aparecen en álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, estadística, ciencia de datos, física, ingeniería y gráficos por computadora. Revelan comportamientos estables e inestables en sistemas dinámicos, direcciones principales en matrices de covarianza, modos de vibración de estructuras y patrones a largo plazo de multiplicaciones matriciales repetidas. Los valores propios distintos de una matriz de 2 por 2 suelen proporcionar dos vectores independientes y permiten diagonalizarla. Un valor propio repetido puede aportar una o dos direcciones independientes, según la matriz. Esta calculadora se centra en valores propios reales de matrices de 2 por 2 e informa cuando el discriminante del polinomio característico es negativo. Los valores complejos son matemáticamente válidos, pero requieren notación compleja fuera del alcance de esta herramienta. Los decimales se redondean para mostrarlos, mientras que el cálculo usa toda la precisión de coma flotante de JavaScript. En ejercicios exactos, usa el resultado como comprobación numérica y conserva radicales o fracciones cuando la ecuación característica se factorice de forma sencilla. Verifica siempre cada par propio multiplicando la matriz original por el vector y comparando ese producto con el valor propio multiplicado por el mismo vector.