Calculadora de ortocentro

El ortocentro es la intersección común de las tres alturas de un triángulo. Una altura es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la recta que contiene el lado opuesto. Dibujar las tres facilita reconocer la construcción, pero para calcular bastan dos: cuando dos alturas distintas se cruzan, la tercera pasa por el mismo punto. Esta concurrencia es un teorema fundamental de la geometría euclidiana. La ubicación del ortocentro depende de los ángulos del triángulo. En un triángulo acutángulo, las alturas se cortan dentro. En uno rectángulo, los catetos ya son alturas perpendiculares, de modo que el ortocentro es el vértice del ángulo recto. En uno obtusángulo, las alturas se cruzan fuera porque es necesario prolongar al menos dos lados opuestos. Por tanto, una coordenada exterior es válida y no indica un fallo de cálculo. La geometría analítica expresa la perpendicularidad mediante productos escalares. La recta del vértice A al punto desconocido H es una altura si el vector H menos A es perpendicular al lado BC. Su producto escalar debe ser cero. Una segunda ecuación exige que el vector H menos B sea perpendicular al lado AC. Al desarrollar ambos productos se obtiene un sistema lineal de dos ecuaciones con las coordenadas x e y de H como incógnitas. La calculadora lo resuelve directamente, evitando fórmulas de pendientes que necesitan casos especiales para rectas verticales. Si los tres puntos son colineales, no definen un triángulo. Las ecuaciones de las alturas no tienen una intersección única, lo que se manifiesta como un determinante nulo. La calculadora detecta esta situación y solicita vértices no colineales. Los puntos repetidos se rechazan por el mismo motivo geométrico. Se aceptan coordenadas decimales y negativas, por lo que el método sirve en cualquier cuadrante y no requiere lados paralelos a los ejes. El ortocentro es uno de los cuatro centros clásicos del triángulo. El baricentro es la intersección de las medianas, el incentro la de las bisectrices de los ángulos y el circuncentro la de las mediatrices. En un triángulo general son puntos distintos. El baricentro, el circuncentro y el ortocentro están en la recta de Euler y sus posiciones cumplen una proporción sencilla. En un triángulo equilátero, la simetría hace que los cuatro centros coincidan. Esta calculadora sirve para geometría analítica, revisión de construcciones gráficas, ejercicios de centros del triángulo y gráficos por computadora. Introduce cada par ordenado con cuidado, manteniendo juntas las coordenadas x e y correspondientes. El resultado se redondea para facilitar la lectura, aunque las ecuaciones se evalúan con toda la precisión de coma flotante de JavaScript. Sustituir el resultado en cualquiera de las ecuaciones de producto escalar permite verificarlo directamente.